使用不动点迭代法求解非线性方程(含完整MATLAB代码)

不动点迭代法是一种求解非线性方程的数值方法。这种方法基于不动点理论，即寻找一个点$x$，使得$f(x)=x$。对于给定的非线性方程$g(x)=0$，我们可以通过将其转化为$x=h(x)$的形式来应用不动点迭代法，其中$h(x)$是经过适当选择的，使得原方程的解也是这个新方程的不动点。

不动点迭代法的步骤

1、选择初始估计值：从$x_0$开始，这是对方程$x=h(x)$根的初始估计。
2、迭代过程：使用迭代公式$x_{n+1}=h_{(x_n)}$来更新$x$的估计值。
3、收敛判断：重复步骤2，直到直到连续两次迭代的结果之差的绝对值小于预先设定的容忍误差$ϵ$，即$\mid x_{n+1}-x_n\mid <ϵ$。

实例

假设我们要解方程$x^3-x-2=0$。
1、将方程转化为$x=h(x)$形式：
我们可以将原方程转化为多种形式的$x=h(x)$。一个可能的选择是 $x=(x+2{)}^{1/3}$。
2、选择初始估计值$x_0$：
假设$x_0=1$。
3、应用迭代公式：
使用迭代公式$x_{n+1}=(x_n+2{)}^{1/3}$ 。
4、执行迭代直至满足收敛条件：
假设我们设定的容忍误差$ϵ=0.001$。

在MATLAB中实现不动点迭代法求解非线性方程的过程可以通过以下步骤进行编码：

1、定义迭代函数$h(x)$：对于给定的非线性方程，首先需要将其转化为$x=h(x)$的形式。
2、初始化参数：包括初始估计值$x_0$、容忍误差$ϵ$和最大迭代次数等。
3、执行迭代过程：使用循环结构进行迭代，直到满足收敛条件（即相邻两次迭代值的差的绝对值小于容忍误差）或达到最大迭代次数。
4、输出结果：输出迭代得到的近似解及迭代次数。
以下是针对上述例子（求解方程$x^3-x-2=0$）的 MATLAB 代码实现：

function [x, n] = fixed_point_iteration()
    % 定义迭代函数h(x)
    h = @(x) (x + 2)^(1/3);
    
    % 初始化参数
    x0 = 1; % 初始估计值
    epsilon = 0.001; % 容忍误差
    maxIter = 100; % 最大迭代次数
    n = 0; % 迭代计数器
    
    % 执行迭代过程
    for i = 1:maxIter
        x = h(x0); % 计算当前迭代值
        if abs(x - x0) < epsilon % 检查是否满足收敛条件
            n = i; % 更新迭代次数
            break; % 满足收敛条件，退出循环
        end
        x0 = x; % 更新迭代值
    end
    
    % 检查是否因达到最大迭代次数而停止迭代
    if n == 0
        n = maxIter;
        disp('达到最大迭代次数，可能未收敛');
    end
end

使用此函数时，只需在MATLAB命令行窗口调用fixed_point_iteration()即可。函数将返回求解得到的x值和迭代次数n。
在MATLAB中的运行结果为：
经过5次迭代后，我们得到$x\approx 1.5213$作为方程$x^3-x-2=0$的一个解，满足我们设定的容忍误差$ϵ=0.001$。
这个实例展示了不动点迭代法在求解非线性方程时的应用。需要注意的是选择合适的转换$x=h(x)$和初始估计$x_0$对于算法的成功和收敛速度至关重要。