动态规划基础概念

目录

定义

原理

优缺点

几个经典的动态规划问题：

动态规划问题写题步骤

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定义

DP是Dynamic Programming的简称，即动态规划。

动态规划是一种求解复杂问题的方法，它将原问题分解为相对简单的子问题，并把子问题的求解结果存储起来以避免重复计算。

动态规划适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，其核心是对问题的状态的定义和状态转移方程的定义。通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推的方式解决。

在设计一个动态规划算法时，通常需要按照以下步骤进行：

1. 刻画一个最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优解的值。
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

动态规划的应用极其广泛，背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等应用极多。

原理

动态规划的原理是将原问题拆分为多个重叠的子问题，通过解决这些子问题来找到原问题的最优解。在解决子问题的过程中，记录每个子问题的解，避免重复计算，提高算法效率。这种方法的适用范围是有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。这样，在需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解。

动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。在定义状态时，要找到一个合适的状态来描述问题的解。设计状态转移方程时，要找出当前状态和最优解的关系，以便递归地求解子问题。确定边界条件时，要确定问题的起始和终止条件。

动态规划的本质是将多阶段决策过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。

（其实内容都大差不差，就是拆分成小问题，然后解决）

优缺点

动态规划的优点主要包括：

1. 易于确定全局最优解：通过将问题分解为多个子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解，动态规划可以更容易地找到全局最优解。
2. 能得到一族解：动态规划可以求解出一族最优解，这有助于分析问题的多个方面，并从中选择最合适的一个解。
3. 能利用经验，提高求解效率：由于动态规划会重复计算子问题的解，因此可以利用已经计算出的解，避免重复计算，提高求解效率。

然而，动态规划也存在一些缺点：

1. 没有统一的标准模型可供应用：到目前为止，没有一个统一的标准模型可以应用于所有动态规划问题。每个问题都需要单独设计动态规划模型，这增加了解决问题的难度。
2. 应用的局限性：构造动态规划模型时，必须满足“无后效性”条件，这限制了动态规划的应用范围。此外，对于大规模问题，动态规划可能会面临维数障碍，使得求解变得非常困难。
3. 数值求解时存在维数障碍：在数值求解时，动态规划可能会面临维数障碍。这是因为随着问题规模的增加，子问题的数量会呈指数级增长，导致计算量急剧增加，需要额外的内存空间。

总的来说，动态规划是一种非常有用的方法，适用于解决一些特定类型的问题。在使用动态规划时，需要注意其限制和适用范围，并根据具体问题设计合适的模型。

几个经典的动态规划问题：

1. 背包问题：给定一组物品，每个物品有各自的重量和价值，求在不超过背包总重量的情况下，使得背包中物品的总价值最大。
2. 斐波那契数列：给定一个整数n，求斐波那契数列的第n项。斐波那契数列定义为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，其中第n项是第n-1项和第n-2项的和。
3. 最短路径问题：给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
4. 排班表问题：给定一组员工和他们的班次需求，求如何排班才能满足所有员工的需求，并使得总工作时间最少。
5. 机器调度问题：给定一组作业和它们的加工时间，求如何安排作业的加工顺序，使得所有作业的完成时间最早。
6. 文本编辑问题：给定一个初始文本和一组操作（插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符），求通过最少的操作次数将初始文本转化为目标文本。
7. 拼车问题：给定一组乘客和他们的行程需求，求如何拼车才能满足所有乘客的需求，并使得车辆的总行驶距离最短。
8. 资源分配问题：给定一组任务和所需的资源，求如何分配资源才能使得所有任务都能完成，并使得总成本最低。

动态规划问题写题步骤

1.要搞清楚dp数组及其下标的含义。

2.找到准确的递推公式。

3.dp数组的初始化应该如何解决。

4.遍历顺序（有的从前往后，有的从后往前）。

5.打印数组（为了检查错误）。