数据结构与算法关系（基础总结）

目录

算法定义

算法的特性

输入输出

有穷性

确定性

可行性

算法设计的要求

正确性

可读性

健壮性

时间效率高和存储量低

算法效率的度量方法

事后统计方法

事前分析估算方法

函数的渐近增长

算法时间复杂度

推导大O阶方法

常见的时间复杂度

算法空间复杂度

算法定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。（为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法了。）

指令是指能被人或机器等计算装置执行。它可以是计算机指令，也可以是我们平时的语言文字。

算法的特性

输入输出

算法具有零个或多个输入。

算法至少有一个或多个输出。

有穷性

指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

确定性

算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。

可行性

算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

正确性

算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
但是算法的“正确”通常在用法上有很大的差别，大体分为以下四个层次。
1.算法程序没有语法错误。
2.算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
4.算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

可读性

算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。可读性是算法(也包括实现它的代码)好坏很重要的标志。

健壮性

当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

时间效率高和存储量低

时间效率指的是算法的执行时间。存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

算法效率的度量方法

事后统计方法

这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

缺点：

必须依据算法事先编制好程序，这通常需要花费大量的时间和精力。

时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优劣。

算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现。

事前分析估算方法

在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素:

1.算法采用的策略、方法。

2.编译产生的代码质量。

3.问题的输入规模。

4.机器执行指令的速度。

第1条当然是算法好坏的根本，第2条要由软件来支持，第4条要看硬件性能。也就是说，抛开这些与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

函数的渐近增长

1.可以忽略加法常数。

2.与最高次项相乘的常熟并不重要。

3.最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。

4.判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。

某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为 O(n)，O(1)，O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n2)叫平方阶。

推导大O阶方法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大 O 阶。

常数阶：不管这个常数是多少，我们都记作0(1)。

常见的时间复杂度

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。