数论 之 欧拉函数篇

欧拉函数

定义：1 ∼ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 ϕ(N)

公式：若 N = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak 所有的pi都是N的质因数

那么 ϕ(N) = N * (p1-1)/p1 * (p2-1)/p2 * … *(pk-1)/pk;

---

性质 :
性质1：如果n是质数，那么ϕ ( n ) = n − 1 ,因为只有n本身与它不互质。

性质2：如果p，q都是质数，那么ϕ ( p ∗ q ) = ϕ ( p ) ∗ ϕ ( q ) = ( p − 1 ) ∗ ( q − 1 )

性质3:根据性质2得出，如果p是质数，那么ϕ ( p ^k ) = p ^k − p^ k − 1

1) 单个数的欧拉函数 ：

原题链接：873. 欧拉函数 - AcWing题库

核心代码：

 int res = n;
//利用了分解质因子的代码
        for(int i=2;i<=n/i;i++){
            if(n%i==0){
                res = res*(i-1)/i;
                while(n%i==0)n/=i;
            }
        }

完整代码：

#include
#define int long long 

using namespace std;

signed main(){
    
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n;
        cin>>n;
        int res = n;
        for(int i=2;i<=n/i;i++){
            if(n%i==0){
                res = res*(i-1)/i;
                while(n%i==0)n/=i;
            }
        }
        if(n>1)res = res*(n-1)/n;
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

2）通过欧拉筛求欧拉函数

原题链接：874. 筛法求欧拉函数 - AcWing题库

问题： 给定一个正整数 n, 求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和

证明：根据质因数定理 i = p1^a1 * p1^a2 . . . pk^ak

那么 ϕ( i ) = i*(a-1)/a * (a2-1)/a2 * … *(ak-1)/ak;

(1) 若是，i%p[ j ]==0,那么说明，p[ j ] 是 i 的一个质因子，那么 i* p[ j ] 的质因子与 i 是一摸一样的，区别只有i * p[ j ] 的质因子当中，p[ j ] 的次数多一个

所以，根据欧拉函数定义，i与i* p[ j ] 的欧拉函数是相同的，即phi[ i ] = phi[ i* p[ j ] ]

（2） 若是 ，i% p [ j ] != 0 ，那么说明，i *p[ j ] , 这个数比i 多了一个质因子 那么

ϕ ( i * p [ j ]) = p[ j ] * ϕ (i) * ( p[ j ] - 1 )/ p[ j ] = ϕ (i) * ( p[ j ] - 1 )

即 phi[ i ] = phi[ i* p[ j-1 ] ]

思路：利用欧拉筛可以筛到所有的合数的性质，我们求出可以求出每一位合数的欧拉函数

核心代码：

void prime(const int& n){
    ph[1] = 1;
   
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            p[res++] = i;
            st[i] = true;
            ph[i] = i-1;
            sum+=ph[i];
        }
        for(int j=0;p[j]<=n/i;j++){
            st[i*p[j]] = true;
            
            if(i%p[j]==0){
                ph[i*p[j]] = ph[i]*p[j];
                sum+= ph[i*p[j]];
                break;
            }
            ph[i*p[j]] = ph[i]*(p[j]-1);
            sum+= ph[i*p[j]];
        }
    }
    
}

完整代码：

#include
#define int long long 
using namespace std;
const int N =1000100;
bool st[N];
int ph[N],p[N];
int res;
int sum = 1;
void prime(const int& n){
    ph[1] = 1;
   
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            p[res++] = i;
            st[i] = true;
            ph[i] = i-1;
            sum+=ph[i];
        }
        for(int j=0;p[j]<=n/i;j++){
            st[i*p[j]] = true;
            
            if(i%p[j]==0){
                ph[i*p[j]] = ph[i]*p[j];
                sum+= ph[i*p[j]];
                break;
            }
            ph[i*p[j]] = ph[i]*(p[j]-1);
            sum+= ph[i*p[j]];
        }
    }
    
}

signed  main(){
    int n;
    cin>>n;
    prime(n);
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}