二道经典OJ题带你入门回溯剪枝算法

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前期回顾-环形链表

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目录

 回溯算法的简介

N皇后问题

思路

代码测试

N皇后 

思路

判断一竖列是否有皇后

判断对角线是否有皇后

代码测试

 回溯算法的简介

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯 ，所以回溯法也经常和DFS混在一起

回溯的介绍：在搜索解空间时会采用 尝试 与 回退 的策略

回溯算法实际上一个 类似枚举的搜索 尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就 回溯 返回，尝试别的路径。回溯法是一种深度优先搜索，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为 回溯点 

剪枝的介绍：

回溯法的基本行为是 搜索，搜索过程使用 剪枝 函数来为了避免无效的搜索

(1)使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径

(2)使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径

DFS的介绍：

DFS是一种遍历或搜索图、树等数据结构的算法，当然这个图、树未必要存储下来(隐式处理就是回溯法)常见的是通过某种关系构造出的搜索树，搜索树一般是排列型搜索树和子集型搜索树

排列型就是每次枚举选哪个

子集型就是对于每一个元素选或不选

DFS 从起始节点开始，沿着一条路径尽可能探入地搜索直到无法继续为止，然后回溯到前一个节点，继续探索其他路径，直到遍历采整个图

DFS 使用栈或递归来管理节点的遍历顺序

N皇后问题

题目链接：N皇后问题

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题目描述#

在 N x N 的方格棋盘放置了 N 个皇后，使得它们不相互攻击(即任意 2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成 45 度角的斜线上。你的任务是，对于给定的 N，求出有多少种合法的放置方法
输入描述#
输入中有一个正整数 N <= 10，表示棋盘和皇后的数量
输出描述#
为一个正整数，表示对应输入行的皇后的不同放置数量
输入输出样例#

输入

5

输出

10

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思路

算法思想：排列型回溯

​

假设我们是4 x 4棋盘，然后判断皇后在棋盘的攻击范围：

<1>

​

​

​

因为我们是 4x4 的棋盘所以我们要放置4个皇后，所以皇后放置第一行第一列是不行的

<2>

​

​

我们发现：

<1>棋盘每行都 必然有且仅有 一个皇后

<2>棋盘的 第一行第一列 放皇后是 不行 的

<3>每放置一个皇后就将对应的米字型区域设置为 禁区，后面的皇后就不能放在 禁区 里，回溯的时候将 禁区 取消掉

<4>为了正确维护 禁区，不能使用 bool 数组来表示 禁区，需要使用 int 数组，表示这个位置被多少个皇后占用了，当占用数为 0 时表示 禁区 解除

于是我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束

代码测试

#include
using namespace std;
const int N = 10;
int vis[N][N];    //表示多少个皇后被占用了
int n,ans;        //设置全局变量初始化为0
void dfs(int dep) //dep表示当前的搜索深度 
{
  if(dep == n+1)  //从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束
  {
    ans++;
    return;
  }
  for(int i = 1;i<=n;i++)
  {
    //当前的位置已经被占用了
    if(vis[dep][i])continue;
    //修改状态,米字形式方阵
    for(int _i = 1;_i<=n;_i++)vis[dep][i]++,vis[_i][i]++;
    for(int _i = dep,j = i;_i>=1&&j>=1;_i--,j--)vis[_i][j]++;
    for(int _i = dep,j = i;_i<=n&&j>=1;_i++,j--)vis[_i][j]++;
    for(int _i = dep,j = i;_i>=1&&j<=n;_i--,j++)vis[_i][j]++;
    for(int _i = dep,j = i;_i<=n&&j<=n;_i++,j++)vis[_i][j]++;
    dfs(dep+1);//搜索下一层
    //恢复（回溯）棋盘，减少位置占用
    for(int _i = 1;_i<=n;_i++)vis[dep][i]--,vis[_i][i]--;
    for(int _i = dep,j = i;_i>=1&&j>=1;_i--,j--)vis[_i][j]--;
    for(int _i = dep,j = i;_i<=n&&j>=1;_i++,j--)vis[_i][j]--;
    for(int _i = dep,j = i;_i>=1&&j<=n;_i--,j++)vis[_i][j]--;
    for(int _i = dep,j = i;_i<=n&&j<=n;_i++,j++)vis[_i][j]--;
  }
}

int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);//从第一个位置开始搜索
    cout<

N皇后 

题目链接：N皇后

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按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

​

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9

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思路

回溯+剪枝+坐标系

以下我们用3 x 3的棋盘进行模拟

​

​

​

​

我们发现：

<1>皇后放在第一行第一列是凑不出 3 的，这种放法是不可行的，所以我们要进行剪枝

<2>棋盘在米字行禁区的需要剪枝

判断一竖列是否有皇后

我们可以定义一个 bool 类型的数组，判断我们这一列是否有皇后

如果为 true 则这一列有皇后，为 false 则这一列没有皇后

判断对角线是否有皇后

​

我们给将棋盘放在直角坐标系中，对角线的方程为：y = x + b转换一下就是y - x = b

我们发现 (纵坐标 - 横坐标） 是一个常数，于是我们可以定义一个 bool 类型的数组

将这个常数存放在 bool 的数组里面

如果 常数 的坐标是 true 则代表这条对角线有皇后，是 false 则代表这条对角线没有皇后

​

如果 y - x = b(b是负数)，我们可以采用下面这个式子：y - x + n = b + n 整体向上平移

这一侧的对角线已经分析完毕，还有一侧对角线就留给大家去分析

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递归深度就是 row 控制棋盘的行，每一层里 for 循环的 col 控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置

每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从 0 开始

代码测试

class Solution {
    bool checkCol[10],checkDig1[20],checkDig2[20]; //checkCol一竖列，checkDig1主对角线，checkDig2副对角线
    vector> ret;                    //最终棋盘
    vector path;                           //每个棋盘
    int n;
public:
    vector> solveNQueens(int _n) 
    {
        n = _n;
        path.resize(n);                     //分配空间
        for(int i = 0;i