编码世界探秘：原反补码与实数表示，含定点、浮点及BCD编码
数值的编码表示
整数编码表示
在计算机中，因为只有0和1这两种形式，但为了表示数的正（+），负（-）号，就要将数的符号以0和1编码。
通常把一个数的最高位定义为符号位，用0表示正，1表示负，称为数符，这种把数本身（数值部分）及符号一起数字化的数称为机器数。
机器数是数在计算机内的表示形式，而这个数真正表示的数值称为真值
假设计算机字长为8，然后介绍它的原码、反码和补码
原码
整数 X 的原码指其数符位 0表示正，1表示负。其数值部分就是X绝对值的二进制表示。
通常用 [X]原表示X的原码
示例：
- [ +1 ]原=00000001 [ +127 ]原=01111111
- [ -1 ]原=10000001 [ -1 ]原=11111111
由此可知，8位原码表示的最大值为27-1，即是127，最小值为—127，所能表示数的范围为[-127，127]
当采用原码表示时，编码简单，与真值转换方便。但原码也存在以下一些问题
- 在原码表示中，0有两种表示形式，即 [ +0 ]原=00000000，[ -0 ]原=10000000。零的二义性给机器判断带来了麻烦
- 原码进行四则运算时，符号位需要单独处理，增加了运算规则的复杂性
反码
整数X的反码指对于正数，与原码相同；但对于负数，数符位为1，其数值位是X的绝对值取反。通常用 [X ]反表示 X 的反码
示例：
- [ +1 ]反=00000001 [ +127 ]反=01111111
- [ -1 ]反=11111110 [ -127 ]反=10000000
由此可知，8位反码表示的最大值、最小值和所能表示数的范围与原码相同。
反码运算也不方便，很少使用，一般用作求补码的中间码
补码
正数 X 的补码指对于正数，与原码、补码相同；但对于负数，数符位为1，其数值位是X的绝对值取反后再在最低位加1，即为反码加1
通常用 [ X ]补表示 X 的补码
示例：
- [ +1 ]补=00000001 [ +127 ]补=01111111
- [ -1 ]补=11111111 [ -127 ]补=10000001
在补码表示中，0有唯一的编码，即[ +0 ]补=[ -0 ]补=00000000，因而可以用多出来的一个编码10000000来扩展补码所能表示的数值范围，即将负数由最小-127扩大到-128。这里的最高位1即可看作符号位，又可表示为数值位，其值即为-128，补码所能表示数的范围为[-128，127]。这就是补码与原码、反码最小值不同的原因。利用补码可以方便地进行运算
总结
对于正数 X：[ X ]原=[ X ]反=[ X ]补
对于反数 Y：
- [ Y ]原=数符位为1，其他位为绝对值的二进制形式；
- [ Y ]反=数符位为1，其余位按位取反
- [ Y ]补=[ Y ]反+1
实数编码表示
在计算机中小数点是不占位置的，因此规定根据小数点所在的位置来表示，分别为定点整数、定点小数和浮点数这三种表示形式
定点整数
定点整数是纯整数，是指在计算机内部表示时，小数点被固定在机器数的最右边。定点整数可分为有符号数和无符号数（正整数）。
-
有符号数最高一位二进制表示符号（0表示正号且1表示负号），其余各位表示数据。
-
不带符号位时所有的二进制位数都用来表示数据
无符号整数的表示
字长为n位的计算机，它能表示的无符号整数的范围是0~2n-1
字长为8位的计算机，它的整数范围是：0~255（00000000B~11111111B）
字长为16位的计算机，它的整数范围是0~65535（0000000000000000B~1111111111111111B）
有符号整数的表示
字长为n位的计算机，它能表示的有符号整数的范围是-2n-1~2n-1-1
最高位表示符号，0表示正号（+），1表示负号（-）,其余用来表示数值部分。
数值部分的表示方法
-
原码表示
整数的绝对值以二进制自然码表示
如字长为8位的计算机中，[ +20 ]原=00010100 [ -20 ]原=10010100
字长为n位的计算机，能表示的有符号整数的范围是-2n-1~2n-1-1
字长为8位的计算机，有符号整数的范围是：-127~+127（10000000B~01111111B）
字长为16位的计算机，有符号整数的范围是：-32767~+32767.
-
补码表示
正整数的绝对值以二进制自然码表示，负整数的绝对值使用补码表示
[ +20 ]补=00010100 [ -20 ]补=11101011
定点小数
定点小数是纯小数，是指在计算机内部中固定小数点位置在符号位与有效数值部分之间。
所有数绝对值均小于1
浮点数
所谓浮点数是指小数点位置不固定的值。定点数表示的数在实际应用中是不够用的，尤其在科学计算中。为了能表示非常大或非常小的数，采用浮点数表示。
浮点数主要由符号位（正负）、阶码和尾数（有效数字）这三个部分组成：
- 符号位：用来表示数值的正负，通常是最高位的数码，0表示正数，1表示负数
- 阶码（指数）：用定点整数来表示，存储实际指数值，阶码所占的位数确定了数的范围
- 尾数：用定点小数表示，存储小数部分的有效数字。尾数所占的位数确定了数的精度
如：-0.2368*10+3，其中-是符号位，0.2369是尾数，+3是阶码（尾数）
浮点数的表示方法和科学计数法相似，任意一个数均可通过改变其指数部分，使小数点发生移动，如十进制数23.89可以表示为2.368x101、0.2368x102、0.02368x103等。
在计算机中，浮点数的一般表示形式为N=2ExD，其中，D称为尾数，E称为阶码。
BCD编码
BCD（Binary-Coded Decimal，二进制编码的十进制）是一种将十进制数以二进制形式编码的方法，它确保每一位二进制编码仅能表示0到9之间的单个十进制数字。
当十进制小数转换为二进制数时会产生误差，为了精确地存储和运算十进制数，可用若干位二进制数码来表示一位十进制数，称为二进制编码的十进制数。
BCD编码的主要目的是为了简化计算机系统中十进制数据的处理，尤其是对于那些需要精确十进制表示的应用场景，比如金融和会计系统
在BCD编码中，一个十进制位通常用4位二进制来表示，因为2的4次方等于16，而10进制数正好在0到9这个范围内。BCD码可分为8421码(从高位到低位的权值分别为8、4、2、1）、2421码(从高位到低位的权值分别为2、4、2、1)、5421码(从高位到低位的权值分别为5、4、2、1)等。8421最基本的，最常用的BCD码。
8421该怎么计算？
示例：用8421法将十进制5转换为二进制数
按照8421来分解5：5=4+1
用8421转换法，对应数字的下面写1，没有的写0，得到：
所以：5D=0101B
常用BCD码与十进制数的对应关系如表1-11所示
| 十进制数 | 8421码 | 5421码 | 2421码 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0000 | 0000 |
| 1 | 0001 | 0001 | 0001 |
| 2 | 0010 | 0010 | 0010 |
| 3 | 0011 | 0011 | 0011 |
| 4 | 0100 | 0100 | 0100 |
| 5 | 0101 | 1000 | 1011 |
| 6 | 0110 | 1001 | 1100 |
| 7 | 0111 | 1010 | 1101 |
| 8 | 1000 | 1011 | 1110 |
| 9 | 1001 | 1100 | 1111 |
如果要表示更大的十进制数，只需将每个十进制位转换为相应的BCD码，并按顺序排列起来。例如，十进制数123可以表示为：
- 十进制数 1 对应的 BCD 码是：0001
- 十进制数 2 对应的 BCD 码是：0010
- 十进制数 3 对应的 BCD 码是：0011
所以，十进制数123的BCD编码就是：0001 0010 0011。
使用BCD编码的优点在于可以直接读取并理解其表示的十进制数值，避免了二进制与十进制之间转换时可能引入的精度损失。然而，相对于原生二进制表示，BCD编码占用的空间较大。