【编译原理】简明自底向上分析算法总结:LR(0),SLR,LR(1),LALR分析算法

【编译原理】简明自顶向下分析算法总结:递归下降,LL(1)分析算法


语法分析有两个总的思路,一个是自顶向下分析,一个是自底向上分析。自底向上的分析思路是,对一个句子 s s s,不断进行归约(“合并”),看能否归约成开始符号 S S S的状态。

自底向上分析(LR概述)

自底向上分析通常讨论的是LR分析算法,也叫“移进-归约算法”。仍然是循序渐进的讨论,从比较朴素的归约动机开始,逐步讨论如何对其完善。
LR分析指每次从左(L)读入,从右®反向构造出最右推导序列。分析是在从左到右读入的过程中进行的。在读入一定子串以后,如果右端可以进行归约,则向上归约。引入点记号“·”以指示句子读入的情况。如下例子所示:

有文法如下:
E -> E + T
   | T
T -> T * F
   | F
F -> n

给出算式 2 + 3 * 4,归约过程如下:
				2 + 3 * 4
2				· + 3 * 4
F				· + 3 * 4
T				· + 3 * 4
E				· + 3 * 4
E + 			  · 3 * 4
E + 3			    · * 4
E + F			    · * 4
E + T			    · * 4
E + T *			      · 4
E + T * 4		        ·
E + T * F		        ·
E + T		       		·
E			       		·
S			       		·

由此,LR过程实际上生成的是一个逆序的最右推导。已处理部分的符号串,实际上是一个栈结构。因此,该算法的框架可以归纳成如下的移进、归约两个步骤。

  1. 移进:将一个记号移进到栈顶中;
  2. 归约:将栈顶的n个符号归约成一个非终结符。

显然,我们需要一个机制去确定何时应当移进,何时应当归约,否则该算法也会退化成盲目的搜索。
讨论“句柄”的概念。句柄在LR算法中可以理解为和产生式右部匹配的子串。显然,找到合适的句柄,我们就能在正确的步骤归约,从而实现对句子 s s s的正确验证。
为了正确高效地实现LR算法,我们可以采取类似于LL的**表驱动的算法思路。**通常来说,LR类算法的分析表结构如下:

状态 ACTION GOTO
…(非终结符分栏) …(终结符分栏)

A C T I O N ACTION ACTION,即“动作”。在第 n n n个状态时读入某终结符应当做什么动作。 A C T I O N ACTION ACTION表的元素通常有2种:

  1. s i si si,s是“shift”的缩写,指示状态的转换,i指示转换到的状态编号
  2. r i ri ri,r是“reduce”的缩写,指示此时应当对栈顶子串做归约动作,i指示对应的(右部)表达式的编号

此外, A C T I O N ACTION ACTION表中的“acc”是“accept”的缩写,表示读入到此处的时候可以已可以接受该句子,LR算法结束。
G O T O GOTO GOTO表意思是“跳转”,表示归约在栈顶得到某非终结符后,应该跳转到什么状态
不同的LR算法,对分析表的构造方法并不相同。以下将对LR(0),SLR,LR(1),LALR进行讨论。

LR(0)分析

首先,为求解方便,我们可以将文法 G G G转换为增广文法 G ′ G' G,即对开始符号 S S S增加一条 S ′ → S S'\rightarrow S SS S ′ S' S是新的开始符号,求解从 S ′ S' S开始。具体而言,这样做是为了开始符号只在位于一条式子的左部。
为讨论方便,补充项目的定义:项目即规约过程中的一个带点的句子,是左边规约部分和右边未读入部分的拼接。
那么,刚刚在讨论分析表时,表的每一横行代表某状态。所以,该如何划分状态呢?我们可以讨论一种“等价”。比如有式子 S → E + E , E → a B c S\rightarrow E+E,E\rightarrow aBc SE+E,EaBc,当前的项目状态是 S → E + ⋅ E S\rightarrow E+·E SE+E。那么,我“期盼”着将要读入的是 E E E,也就等价于我“期盼着”将要读入的是 a B c aBc aBc。我们将这些等价的项目归为同一个集,称为项目集闭包,对应自动机中的一个状态。
由此,我们可以得到求项目集闭包的通俗描述:若”期盼着“读入某符号,将其归入一个状态;若该符号是非终结符,那么对于它的某右部表达式,也就相当于”期盼“着读入该表达式的第一个符号,那么该符号的相关项目也应当归入该状态。
根据构造闭包的思路,我们有LR(0)分析表构造算法如下:

  • 首先,根据 S ′ → S S'\rightarrow S SS构造初始闭包C0,该闭包只含一个项目: S ′ → ⋅ S S'\rightarrow ·S SS
  • 若闭包的分析还没有完成,取出某还没有分析的闭包,根据它读入新符号以后的action和goto情况,建立新的状态闭包

LR(0)分析表构造算法伪代码如下:

closure(C) // C是某状态对应的闭包
	while (C is still changing)
		for (item i: C) // example: i = A-> beta · B gamma 
			C += {B -> ...}

Goto(C, x) // 求GOTO得到的新状态
	tmp = {}
	for (item i: C) // example: i = A-> beta · B gamma
		tmp += {A-> beta B · gamma}
	return closure(C)

LR0_table()
	C0 = closure(S'->·S$)
	state_set = {C0}
	Q = enqueue(C0)
	while (Q isn't empty)
		C = dequeue(Q)
		for (x: N+T) // N是非终结符集,T是终结符集
			D = Goto(C, x)
			if (x in T)
				ACTION[C][x] = D
			else
				GOTO[C][x] = D
			if (D isn't in state_set)
				state_set.add(D)
				enqueue(D)	

LR(0)算法伪代码如下:

stack = []
push($) // 终止符
push(1) // 初始状态
while (true)
	token t = nextToken()
	state s = stack[top]
	if (ACTION[s][t] == "si")
		push(t)
		push(i)
	else if (ACTION[s][t] == "rj")
		pop (the right hand of the production "j:X->beta")
		state s = stack[top]
		push(X)
		push(Goto[s][X])
	else
		error...

SLR分析

然而,LR(0)分析仍然可能存在冲突,考虑以下状态:

E -> T ·
T -> T · * F

此时如果读入*,将无法得知应当采取移进动作还是采取归约动作(移进-归约冲突)。对于这种情况,SLR算法给出了一个依靠 F O L L O W FOLLOW FOLLOW集解决的方案。对于下一个要读入的符号,它要么被移进,要么被归约成某个非终结符。设某状态下可接受若干符号,只要这些符号要么位于移进集合,要么位于某个FOLLOW集,集合之间两两互不相交,就可以用前看下一个输入的符号来解决。这种方法被称为简单的LR方法,也就是SLR方法。

  • SLR和LR的区别只在于对归约的处理:
    • 对于状态i上的项目 X-> α {\alpha} α ·
      • 仅对 y ∈ {\in} FOLLOW(X)添加ACTION[i, y]

LR(1)分析

SLR分析仍然存在问题。SLR只是简单地考察下一个输入符号b是否属于与归约项目 A → α A\rightarrow\alpha Aα相关联的 F O L L O W ( A ) FOLLOW(A) FOLLOW(A),但 b ∈ F O L L O W ( A ) b\in FOLLOW(A) bFOLLOW(A)只是归约 α \alpha α的一个必要条件,不是充分条件。LR(1)分析法提出的动机是,在特定位置,某符号 A A A的后继符集合是 F O L L O W ( A ) FOLLOW(A) FOLLOW(A)的子集。那么如何求出这个在特定位置的后继符集合呢?依靠前面已知状态的推导。观察如下例子:

S -> L = R
L -> * R

由第一条产生式可以进一步推导出 L -> * R也应该加入到这个闭包里,但这两个L -> * R是不一样的。原本的表达式是一个原始的式子,它期望后接的符号是终结符$,而由S推导出来的L式,后接的应该是=。因此推导出来的新闭包可以表示为:

S -> L = R, $
L -> * R, =
L -> * R, $

根据这样的思路,我们就把LR算法的前看1符号情况进行了细化,称为LR(1)算法。LR(1)的算法大部分和LR(0)相同,仅闭包的构造方法不同:

  • 对项目 [ X → α ⋅ Y β , a ] [X\rightarrow\alpha·Y\beta,a] [XαYβ,a]
    • 添加 [ Y → γ , b ] [Y\rightarrow\gamma,b] [Yγ,b]到项目集
      • 其中 b b b X X X式中 Y Y Y被期望紧接着的符号(展望符)。

LALR分析

LR(1)分析固然分析能力更强,但是也带来了新的问题:状态机中的许多状态,可能仅仅式被期望的后接符号(称为展望符)不一样,而他们的表达式集是完全相同的。LALR分析,即在LR(1)分析得到的状态机图基础上,将表达式完全相同的状态予以合并。这样合并以后,由于忽略了展望符的信息,可能产生归约-归约冲突。
LALR分析形式上与LR(1)相同,大小上与LR(0)/SLR相当,分析能力介于SLR和LR(1)之间。

  • 分析能力:SLR(1)

参考资料:
《编译原理》课程,陈鄞,哈尔滨工业大学(中国大学MOOC)
《编译原理》课程,华保健,中国科学院大学(网易云课堂或b站免费观看)
《编译原理》(紫龙书),机械工业出版社
《编译原理》,清华大学出版社

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