[leetcode] 29. 两数相除

题目描述

给你两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求 不使用 乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断至 -2 。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的 商 。

注意：假设我们的环境只能存储 32 位 有符号整数，其数值范围是 [−2³¹, 2³¹ − 1]。本题中，如果商 严格大于 2³¹ − 1 ，则返回 2³¹ − 1 ；如果商 严格小于 -2³¹ ，则返回 -2³¹ 。

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = 3.33333.. ，向零截断后得到 3 。

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = -2.33333.. ，向零截断后得到 -2 。

提示：

• -2³¹ <= dividend, divisor <= 2³¹ - 1
• divisor != 0

解题方法

倍增

按照 $a$ 和 $b$ 都是正数的情况说明。我们设 $x\times b<=a$ 且 $2\times x\times b>a$，如果求 $k\times b=a$，那么 $k$ 一定满足 $x<=k<2x$。

按照 $dividend$ 和 $divisor$ 都是正数的情况说明。我们可以利用上面的方式不断对 $divisor$ 倍增，同时记录倍增数 $mul$（$mul$ 即为 $k$，初始为1），当 $dividend-mul\times divisor<mul\times divisor$时，$dividend=dividend-mul\times divisor$，答案追加 $mul$。然后重复利用上面的方式计算倍增数 $mul$，$dividend$ 不断缩小，答案追加 $mul$。直到 $dividend<divisor$ 时，即求出最终结果。

由于负数的表示范围更大，可以将 $dividend$ 和 $divisor$ 转化为负数，再利用倍增的思想计算结果。具体代码如下。

java代码

public int divide(int dividend, int divisor) {
    if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) {
        return Integer.MAX_VALUE;
    }
    // 记录结果正负
    boolean flag = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);
    // 将a和b设置为负数，a和b符号相同时方便辗转相减（如果设置为正数，dividend或divisor有一方是Integer.MIN_VALUE时，a或b转化为正数会越界）
    int a = (dividend < 0) ? dividend : -dividend;
    int b = (divisor < 0) ? divisor : -divisor;
    //记录结果
    int result = 0;
    // a > b时，a / b = 0
    while (a <= b) {
        // 记录倍增倍数
        int mul = 1;
        // 用temp临时记录b
        int temp = b;
        // 当temp + temp >= a时，mul倍增，temp倍增（之所以用减法是因为temp相加可能会超过整形范围）
        while (a - temp <= temp) {
            mul += mul;
            temp += temp;
        }
        // a减去倍增后的temp，剩余的a再与b相除
        a -= temp;
        result += mul;
    }
    return flag ? -result : result;
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(lo{g}^{2}N)$，其中 $N$ 表示 32 位整数的范围。最坏情况系下倍增的次数为 $O(logN)$ + $O(log\frac{N}{2})$ + $O(log\frac{N}{4})$ + …… + $O(log\frac{N}{N})$，故渐进复杂度为$O(lo{g}^{2}N)$。
空间复杂度：$O(1)$。

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