【洛谷 P1616】疯狂的采药 题解（动态规划+完全背包）

疯狂的采药

题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

$1$. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

$2$. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 $t$ 和代表山洞里的草药的数目 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行两个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $a_i,b_i$ 分别表示采摘第 $i$ 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

140

提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $m\le 10^3$ 。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le m\le 10^4$，$1\le t\le 10^7$，且 $1\le m\times t\le 10^7$，$1\le a_i,b_i\le 10^4$。

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思路

在这个问题中，有一个背包，其容量是时间t，还有m种不同的草药，每种草药都有自己的采集时间a[i]和价值b[i]。目标是在不超过背包容量的情况下，最大化背包中草药的总价值。

可以将每种草药视为一种物品，其“重量”是采集时间，其“价值”是草药的价值。这个问题的特点是，每种草药可以无限次采集，只要时间允许。这就是所谓的“完全背包”问题。

定义状态dp[j]为当背包容量为j时，能够获得的最大价值。初始化状态时，假设背包为空，所以所有的dp[j]都为0。

然后开始填充状态表。对于每种草药i，都会尝试将其添加到背包中，看看是否能提高背包的总价值。具体来说，对于每个可能的背包容量j，如果可以将草药i添加到背包中（即j >= a[i]），那么就有两种选择：一是不添加草药i，此时背包的总价值仍然是dp[j]；二是添加草药i，此时背包的总价值变为dp[j - a[i]] + b[i]。目标是使背包的总价值最大，所以选择两者中的较大值作为新的dp[j]。

这是完全背包问题，而不是01背包问题。在完全背包问题中，每种物品可以被选择多次，因此在考虑是否选择当前物品时，需要查看在选择该物品多次的情况下能够获得的最大价值。

在这个问题中，for (int j = a[i]; j <= t; j++) 的作用是遍历所有可能选择当前物品的情况。由于可以选择当前物品多次，因此需要从小到大遍历 j。这样，当考虑到 j 时，dp[j - a[i]] 对应的是已经选择了当前物品的情况，因此 dp[j] 可以通过选择当前物品来更新。

如果从大到小遍历 j，即 for (int j = t; j >= a[i] j--)，那么当考虑到 j 时，dp[j - a[i]] 对应的是还没有选择当前物品的情况，因此 dp[j] 只能通过不选择当前物品来更新。这就变成了01背包问题，每种物品只能被选择一次。

最后输出dp[t]，这就是当背包容量为t时，能够获得的最大价值，也就是答案。

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AC代码

#include 
#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 1e7 + 7;

int t, m;
// 时间，价值
int a[N], b[N];
ll dp[N];

int main() {
	cin >> t >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> a[i] >> b[i];
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = a[i]; j <= t; j++) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + b[i]);
		}
	}
	cout << dp[t] << endl;
	return 0;
}