代码随想录算法训练营29期|day42 任务以及具体任务

第九章 动态规划part04

•  01背包问题，你该了解这些！ 

  动态规划：01背包理论基础

  本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习，题意是一样的。

  #算法公开课

  《代码随想录》算法视频公开课 (opens new window)：带你学透0-1背包问题！ (opens new window)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

  #思路

  这周我们正式开始讲解背包问题！

  背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的pdf。

  但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。

  对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

  如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

  

  至于背包九讲其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

  而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

  所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

  leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

  所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

  之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！

  #01 背包

  有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

  

  这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

  这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

  每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。

  所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

  在下面的讲解中，我举一个例子：

  背包最大重量为4。

  物品为：

  	重量	价值
  物品0	1	15
  物品1	3	20
  物品2	4	30

  问背包能背的物品最大价值是多少？

  以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

  #二维dp数组01背包

  依然动规五部曲分析一波。

• 确定dp数组以及下标的含义

• 对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

  只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

  

  要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

• 确定递推公式

• 再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

  那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

• 所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

• dp数组如何初始化

• 关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

  首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

  

  在看其他情况。

  状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

  dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

  那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

  当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

  代码初始化如下：

  for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
      dp[0][j] = 0;
  }
  // 正序遍历
  for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
      dp[0][j] = value[0];
  }
  

  此时dp数组初始化情况如图所示：

  

  dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

  其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

  初始-1，初始-2，初始100，都可以！

  但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

  如图：

  

  最后初始化代码如下：

  // 初始化 dp
  vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));
  for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
      dp[0][j] = value[0];
  }
  
  

  费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。

• 确定遍历顺序

• 在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

  

  那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？

  其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

  那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

  // weight数组的大小 就是物品个数
  for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
      for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
          if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
          else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
  
      }
  }
  

  先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）

  例如这样：

  // weight数组的大小 就是物品个数
  for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
      for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
          if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
          else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
      }
  }
  

  为什么也是可以的呢？

  要理解递归的本质和递推的方向。

  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

  dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

  

  再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

  

  大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

  但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

  其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

• 举例推导dp数组

• 来看一下对应的dp数组的数值，如图：

  

  最终结果就是dp[2][4]。

  建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

  做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

  很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。

  主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。

  public class BagProblem {
      public static void main(String[] args) {
          int[] weight = {1,3,4};
          int[] value = {15,20,30};
          int bagSize = 4;
          testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
      }
  
      /**
       * 动态规划获得结果
       * @param weight  物品的重量
       * @param value   物品的价值
       * @param bagSize 背包的容量
       */
      public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
  
          // 创建dp数组
          int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
          int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];
  
          // 初始化dp数组
          // 创建数组后，其中默认的值就是0
          for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
              dp[0][j] = value[0];
          }
  
          // 填充dp数组
          for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
              for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
                  if (j < weight[i]) {
                      /**
                       * 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
                       * 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
                       */
                      dp[i][j] = dp[i-1][j];
                  } else {
                      /**
                       * 当前背包的容量可以放下物品i
                       * 那么此时分两种情况：
                       *    1、不放物品i
                       *    2、放物品i
                       * 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
                       */
                      dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
                  }
              }
          }
  
          // 打印dp数组
          for (int i = 0; i < goods; i++) {
              for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                  System.out.print(dp[i][j] + "\t");
              }
              System.out.println("\n");
          }
      }
  }
  

•  01背包问题，你该了解这些！ 滚动数组  

  动态规划：01背包理论基础（滚动数组）

  本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习

  #算法公开课

  《代码随想录》算法视频公开课 (opens new window)：带你学透0-1背包问题！（滚动数组） (opens new window)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

  #思路

  昨天动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中是用二维dp数组来讲解01背包。

  今天我们就来说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp，一些录友当时还表示比较困惑。

  那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组！

  接下来还是用如下这个例子来进行讲解

  背包最大重量为4。

  物品为：

  	重量	价值
  物品0	1	15
  物品1	3	20
  物品2	4	30

  问背包能背的物品最大价值是多少？

  #一维dp数组（滚动数组）

  对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

  在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

  与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

  这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

  读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。

  dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

  一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。

  动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组的定义

• 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

• 一维dp数组的递推公式

• dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

  dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

  dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

  此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

  所以递归公式为：

  dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  

  可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

• 一维dp数组如何初始化

• 关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

  dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

  那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

  看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

  dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

  这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

  那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

• 一维dp数组遍历顺序

• 代码如下：

  for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
      for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
          dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  
      }
  }
  

  这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

  二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

  为什么呢？

  倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

  举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

  如果正序遍历

  dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

  dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

  此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

  为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

  倒序就是先算dp[2]

  dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

  dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

  所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

  那么问题又来了，为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？

  因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

  （如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

  再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

  不可以！

  因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

  倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

  （这里如果读不懂，就再回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）

  所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

• 举例推导dp数组

• 一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

  

•  416. 分割等和子集 

  class Solution {
      public boolean canPartition(int[] nums) {
          if(nums == null || nums.length == 0) return false;
          int n = nums.length;
          int sum = 0;
          for(int num : nums) {
              sum += num;
          }
          //总和为奇数，不能平分
          if(sum % 2 != 0) return false;
          int target = sum / 2;
          int[] dp = new int[target + 1];
          for(int i = 0; i < n; i++) {
              for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
                  //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
                  dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
              }
             
              //剪枝一下，每一次完成內層的for-loop，立即檢查是否dp[target] == target，優化時間複雜度（26ms -> 20ms）
              if(dp[target] == target)
                  return true;
          }
          return dp[target] == target;
      }
  }

  思路：还是背包问题的变式，背包容积为sum/2，如果背包能装sum/2，就返回true，如果不能的话返回false，物品的占用体积和价值一样都是nums[i]。就用上题讲的01背包滚动数组就可以解决。