算法学习打卡day44｜动态规划：打家劫舍问题

打家劫舍

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题目描述：
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。
示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

思路：

• 思路很简单，就是相邻位置不能偷，那么当前位置要不偷要不不偷，两种状态，偷与不偷取决于：i - 2位置的加上当前位置的元素和和i-1位置的做比较，取较大者，那么dp递推公式为dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i - 1], dp[i - 1]);，代码实现如下：

代码实现：

int rob(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty())   return 0;
        if (nums.size() == 1) {
            return nums[0];
        }
        //dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i - 1], dp[i - 1]);
        vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);
        dp[1] = nums[0];
        for (int i = 2; i < dp.size(); ++i) {
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);
        }
        return dp[nums.size()];
    }

打家劫舍2

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题目描述：
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

思路：

• 和上一题的区别在于，房屋变成了环，所以应对办法是取第一个元素和不取第一个元素，取的话那么最后一个元素一定取不到，不取的话第一个元素就跳过，两种情况分别求一次，取最大值即可。

代码实现

int rob_range(const vector<int>& nums, int start_index, int end_index) {
        //dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);
        //if (start_index == end_index)   return nums[end_index];
        vector<int> dp(nums.size(), 0); //因为相当于数组元素少了一个，所以就定义数组大小个元素，第一个元素不使用，初始化为0，从下标1开始使用认为是第一个屋子
        dp[1] = nums[start_index];
        for (int i = 2; i < dp.size(); ++i) {
            int cur = start_index == 0 ? nums[i - 1] : nums[i];
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + cur);
            //cout << "start: " << start_index << ", dp[i]: " << dp[i] << " ";
        }
        return dp[nums.size() - 1];
    }

    int rob(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty())   return 0;
        if (nums.size() == 1)   return nums[0];
        return max(rob_range(nums, 0, nums.size() - 2), rob_range(nums, 1, nums.size() - 1));//就是把是否选择第一个和不选第一个单独拿出来分别求一次打家劫舍，取较大者
    }

打家劫舍3

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题目描述：
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

示例 1:

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7

思路：

• 二叉树和动态规划的结合，可以采用二叉树的写法写，也可以采用动态规划的写法写，既然是二叉树，那么就需要决定遍历顺序，现在这个题是需要对比root是否要偷，然后返回对应的较大者，那么就需要先获得左右子树的金额，然后进行对比。
• 二叉树的实现看起来啰嗦一点，而且有重复计算，需要记忆性递归法去优化
• 动态规划的实现法，需要根据dp数组去推上层节点的偷与不偷时的值，其实递归会帮助我们去推导，我们每次拿到左子树和右子树的偷与不偷的结果，进行比对，返回给上层当前层偷与不偷的结果即可。

代码实现

• 二叉树写法

unordered_map<TreeNode*, int> used_map;
    int traverse(TreeNode* root) {
        if (!root)  return 0;
        if (used_map.find(root) != used_map.end()) return used_map[root];
        //偷root
        int left = 0, right = 0;
        if (root->left) {
            left = traverse(root->left->left) + traverse(root->left->right);
        }
        
        if (root->right) {
            right = traverse(root->right->left) + traverse(root->right->right);
        }
        int sum = left + right + root->val;
        // 不偷root
        left = traverse(root->left);
        right = traverse(root->right);
        sum = max(sum, left + right);
        used_map.insert(pair<TreeNode*, int>{root, sum});
        return sum;
    }
    int rob(TreeNode* root) {
        return traverse(root);
    }

• 动态规划写法

vector<int> traverse(TreeNode* root) {
        if (!root) return {0, 0};
        vector<int> left(traverse(root->left));
        vector<int> right(traverse(root->right));
        int val1 = left[0] + right[0] + root->val;
        int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);//当两者都不偷最大，那么肯定比val1小
        return {val2, val1};
    }
    int rob(TreeNode* root) {
        vector<int> result(traverse(root));
        return max(result[0], result[1]);
    }