n个节点的二叉树有多少种形态(Catalan数)

【n个节点的二叉树有多少种形态(Catalan数)】

分析过程: 
(1)先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1

(2)如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,左右子树的分布情况为1=1+0=0+1,故有f(2) = f(1) + f(1)

(3)如果有三个节点,(我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不,因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种)我们考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=2+0=1+1=0+2。 
所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

(4)那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

接下来我们定义没有节点的情况,此时也只有一种情况,即f(0)=1 
那么则有: 
f(0)=1,f(1)=1 
f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1) 
f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2) 




f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1) 
该数列称为卡特兰数(Catalan数),该递推关系的解为: 
这里写图片描述 
即含n个节点的二叉树有f(n)种形态。

【其他使用Catalan数解决的问题】

(1)矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案? 
(2)一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 
(3)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 
(4)将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 
(5)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。 
(6)一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

本文由http://www.cnblogs.com/ShaneZhang/p/4102581.html以及http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html总结而成

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