9.6整数拆分（LC343-M）

算法：

动规五部曲：

1.确定dp[i]及i

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]

2.确定递推公式：

思路：dp[i]最大乘积是怎么得到的？

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的

所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j})

3.确定dp初始化

严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少？

这是无解的。

因此，这里只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

4.确定遍历顺序

递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

5.举例推导dp数组

正确代码：

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i =3 ;i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=i-j; j++){ //这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];

    }
}

注意：

1. j 的最大值为 i-j

2.Math.max只能比较两个值，若要连续比价三个值，则：

Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));

时间空间复杂度：

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

其实本题也可以用贪心：

每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;

    }
}

时间空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1