传递闭包问题

一、问题描述

B3611 【模板】传递闭包

二、问题简析

首先，要弄清楚传递闭包的定义，由题意：

一张图的邻接矩阵定义为一个 $n\times n$ 的矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，其中

$$a_{ij}=\{\begin{array}{r}1,i到j存在直接连边\\ 0,i到j没有直接连边\end{array}$$

一张图的传递闭包定义为一个 $n\times n$ 的矩阵 $B=(b_{ij}{)}_{n\times n}$，其中

$$b_{ij}=\{\begin{array}{r}1,i可以直接或间接到达j\\ 0,i无法直接或间接到达j\end{array}$$

---

如果我们把参数的含义改变一下，就可以很容易地发现本题其实是多源最短路径问题。

名称	改变前	改变后
$a_{ij}=1$	$i$ 到 $j$ 有直接连边	$e(i,j)$ 存在且权值为0
$a_{ij}=0$	$i$ 到 $j$ 无直接连边	$e(i,j)$ 不存在
$b_{ij}=1$	$i$ 可以直接或间接到达 $j$	$i$ 到 $j$ 存在最短路径
$b_{ij}=0$	$i$ 无法直接或间接到达 $j$	$i$ 到 $j$ 不存在最短路径

因此，我们可以采取 $Floyd-Warshall$ 解决。

---

三、本题代码

3.1 直接套用 $Floyd-Warshall$ 模板

#include 

using namespace std;

#define MdX 103
#define INF 1e8

int n;
int d[MdX][MdX];

void solve(void)
{
	for (int k = 1; k <= n; k++)
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fill(begin(d[i]), end(d[i]), INF);

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			int a;
			scanf("%d", &a);
			if (a != 0)
			{
				d[i][j] = a;
			}
		}

	solve();

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (d[i][j] == INF)
				printf("%d ", 0);
			else
				printf("%d ", 1);
		}
		putchar('\n');
	}

	return 0;
}

注意：

• 1、初始化连接矩阵时要格外注意，与要来的算法不太一样。令
  $$d[i][j]=\{\begin{array}{ll}e(i,j).w& ,e(i,j)存在且i\ne j\\ INF& ,e(i,j)不存在或i==j\end{array}$$
  输入为 1，表示边存在；输入为 0，表示边不存在。需要注意自环是不存在的。
• 2、要输出得不是最短路径，而是传递闭包。令
  $$\mathbf{printf}=\{\begin{array}{ll}1& ,d[i][j]\ne \mathbf{INF}\\ 0& ,d[i][j]==\mathbf{INF}\end{array}$$

---

3.2 稍微改进一点

模板中，$d[i][j]=$ $i$ 到 $j$ 的最短路径。现在，令

$$d[i][j]=\{\begin{array}{ll}true& ,i可以到j\\ false& ,i不可以到j\end{array}$$

$Floyd-Warshall$ 的核心 d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])，变成 d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j]。可以这样理解：$i$ 能否到 $j$，有两种情况：1、$i$ 能否直接到 $j$；2、$i$ 能否由 $k$ 中转到 $j$。有一种成立，$i$ 就能到 $j$。

#include 

using namespace std;

#define MAX 103

int n;
bool d[MAX][MAX];

void solve(void)
{
	for (int k = 1; k <= n; k++)
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			scanf("%d", &d[i][j]);

	solve();

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			printf("%d ", d[i][j]);
		putchar('\n');
	}

	return 0;
}

---

完