代码随想录算法训练营第41天（动态规划03 ● 343. 整数拆分 ● 96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

题目链接： 343. 整数拆分
文章讲解： 343. 整数拆分
视频讲解： 343. 整数拆分

解题思路

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
2. 确定递推公式
   j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
   如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
   所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
   那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
   因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
3. dp初始化
   初始化dp[2] = 1
4. 遍历顺序
   因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
   只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
   那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以
5. 推导dp数组

// 动态规划
class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
                // j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
                //而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

96.不同的二叉搜索树

题目链接： 96.不同的二叉搜索树
文章讲解： 96.不同的二叉搜索树
视频讲解： 96.不同的二叉搜索树

解题思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
2. 确定递推公式
   dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
   j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
   所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3. dp数组如何初始化
   初始化dp[0]=0；
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

// 动态规划
class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}