二阶系统的迹-行列式平面方法(trace-determinant methods for 2nd order system)

让我们再次考虑二阶线性系统
$$\frac{d\mathbf{Y}}{dt}=A\mathbf{Y}$$

我们已经知道，分析这种二阶系统。最主要的是注意它的特征值情形。

（此处没有重根的情形，所有是partial）

而特征值，也就是系统矩阵特征方程的根，和而系统矩阵是直接相关的。
我们知道，在线性代数理论中，矩阵A的迹Trace(A)（简称Tr）是A的各个特征值之和，而矩阵A的行列式determinant(A)(简称det)为特征值的积。
这里我们只考虑二阶系统。

1. 利用矩阵的迹-行列式求特征值

因此若A的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 则有
$$\begin{gathered} {\lambda }_1+{\lambda }_2=Tr(A) \\ {\lambda }_1\ast {\lambda }_2=det(A) \end{gathered}$$
上过初中的朋友，如果考虑到特征值就是系统矩阵特征方程的根，会不会让你回忆起韦达定理： 对于方程$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$:
$$\begin{gathered} {\lambda }_1+{\lambda }_2=-\frac{b}{a} \\ {\lambda }_1\ast {\lambda }_2=\frac{c}{a} \end{gathered}$$
利用$Tr(A)和det(A)和a,b,c$的关系, 再根据二次方程求根公式, 有
$${\lambda }_{1,2}=\frac{Tr\pm \sqrt{T{r}^2-4\ast det}}{2}$$
A被省略掉了
因此, 我们利用矩阵A的迹-行列式, 直接求系统特征值, 进而判断系统解的形态, 而不必列出特征方程, 这是一个比较巧妙的方法.
下面, 我们介绍一个必杀技, 如何一眼秒杀解的形态.

2. 利用矩阵的迹-行列式直接分析系统解的形态

T代表trace,D代表行列式.
这个图你一看1应该有点感觉了,下面我来讲一下这个图.
回顾上面的公式
$${\lambda }_{1,2}=\frac{T\pm \sqrt{T^2-4\ast D}}{2}$$

2.1 两个不同实根 $T^2-4\ast D>0$

我们看到$T^2-4\ast D>0$的情况，也就像下面图的红色区域，代表系统有两个不一样的实特征值
由于
$$\begin{gathered} {\lambda }_1+{\lambda }_2=T \\ {\lambda }_1\ast {\lambda }_2=D \end{gathered}$$
因此当$T<0,D>0$,代表系统两个负特征值,此时平衡点为sink
当$T<0,D<0$,代表系统两个特征值一正一负,此时平衡点为saddle
当$T<0,D=0$,代表系统两个特征值一个负一个0,此时平衡点为node, 系统只有一个直线解, 相图的形状大概长这样
负特征值对应的一个特征空间 0特征值对应另外一个特征空间
这两个特征空间的直和构成整个相平面
如果系统的初始状态落在负特征值对应的特征空间上，则会沿着特征向量的方向趋近于原点/平衡点
如果系统的初始状态落在0特征值对应的特征空间上，它就不动了，换言之， 0特征值对应的特征空间构成了系统的一个不变集，每个点都是平衡点（学过非线性系统的同学们！）

如果初始状态落在其他地方，由于线性代数告诉我们，初始状态可以在两个分量上投影，对应负特征值方向的分量会收敛为0， 而对应0特征值方向的分量则不动了。

$T>0$的情况也可以类似的推出来

2.2 一对纯虚根$T^2-4\ast D<0$

这个就不用多说了吧
由于两个根实部相同
$T>0$必定是不稳定的spiral source
$T<0$必定是稳定的spiral sink
$T=0$则是无阻尼振荡的螺旋center

2.3 最抽象的情况 重根$T^2-4\ast D=0$

这在迹-行列式平面中表现为一条二次曲线
显然，$T>0$必定是不稳定的node
$T<0$必定是稳定的node
$T=0$就是原点，啥也没有

综上所述，你学会trace-determinant method了吗？