⭐算法入门⭐《二分枚举》中等05 —— LeetCode 1201. 丑数 III

一、题目

1、题目描述

  给你四个整数：n 、a 、b 、c ，请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。
  样例输入： n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
  样例输出： 10

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c){}

3、原题链接

LeetCode 1201. 丑数 III

二、解题报告

1、思路分析

  $X$ 个数 中能被 $a$ 和 $b$ 同时整除的个数记为 $ab$，能被 $b$ 和 $c$ 同时整除的记为 $bc$，能被 $a$ 和 $c$ 同时整除的记为 $ac$，能被 $a$ $b$ $c$ 同时整除的个数，记为 $abc$。根据容斥原理，$a+b+c-ab-ac-bc+abc$ 就是能被任意一个数整除的个数。
  而这里的 $ab$ 如何计算呢？$ab$ 的值，就等于 $\frac{X}{gcd(a,b)}$。$X$ 越大，肯定满足条件的丑数越多，这是一个直观感受（当然也可以很容易的证明）。所以我们可以二分枚举 $X$，然后再用上述公式判断可行，满足 $a+b+c-ab-ac-bc+abc\ge n$ 条件的最小的 $X$ 就是答案了，所有满足这个条件的数定义为绿色，然后二分找绿色的左边界即可。

2、时间复杂度

   时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$。

3、代码详解

/************** 二分查找 数组 模板 **************/
/*

  1）传参的数组满足：红红红红红红红红绿绿绿绿绿绿绿； 
  2）返回值：绿色区段的左边界； 
*/

int isGreen(long long val, int x);

int binarySearch(int l, int r, int x) {
    int mid;
    while(l + 1 < r) {
        mid = l + (r - l) / 2;
        if( isGreen(mid, x) )
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    return r;
}
/************** 二分查找 数组 模板 **************/
#define ll long long 
int A, B, C;

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);     // (1)
}
ll lcm(int a, int b) {
    return (ll)a / gcd(a, b) * b;          // (2)
}

int isGreen(ll val, int x) {               // (3)
    ll ans = val / A + val / B + val / C - val / lcm(A, B) - val / lcm(B, C) - val / lcm(A, C) + val / lcm(lcm(A, B), C);
    return ans >= x;
}


int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c){
    A = a;
    B = b;
    C = c;
    return binarySearch(0, 2000000001, n); // (4)
}

• $(1)$ 计算 $a$ 和 $b$ 的最大公约数；
• $(2)$ 计算 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数；
• $(3)$ 利用容斥原理判断二分可行性；
• $(4)$ 二分枚举找表达式满足的左边界就是答案；

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三、本题小知识

   二分枚举一般也被用来枚举一个定义域上的可行解，只要这个解满足单调性。

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四、加群须知

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