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高代绿皮第四版课后习题复习题一T16

原题

计算下列行列式的值

|A|=\left| \begin{matrix} 1 & \cos {​{\theta }_{1}} & \cos 2{​{\theta }_{1}} & \cdots & \cos (n-1){​{\theta }_{1}} \\ 1 & \cos {​{\theta }_{2}} & \cos 2{​{\theta }_{2}} & \cdots & \cos (n-1){​{\theta }_{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ 1 & \cos {​{\theta }_{n}} & \cos 2{​{\theta }_{n}} & \cdots & \cos (n-1){​{\theta }_{n}} \\ \end{matrix} \right|

解析

思路:

利用复变函数中的欧拉公式

e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}

再由棣莫弗公式可知

e^{ik\theta}=(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^{k}=\cos{k\theta}+i\sin{k\theta}

由二项式展开公式可得

LHS=\cos^{k}{\theta}+iC_{k}^{1}\cos^{k-1}{\theta}\sin{\theta}+i^{2}C_{k}^{2}\cos^{k-2}{\theta}\sin^{2}{\theta}+\cdots+i^{k}\sin^{k}{\theta}

提取出其实部

\begin{aligned}\Re(LHS)&= \cos^{k}{\theta}-C_{k}^{2}\cos^{k-2}{\theta}\sin^{2}{\theta}+C_{k}^{4}\cos^{k-4}{\theta}\sin^{4}{\theta}+\cdots\vspace{2ex}\\&=\cos^{k}{\theta}-C_{k}^{2}\cos^{k-2}{\theta}(1-cos^{2}{\theta})+\cdots\vspace{2ex}\\&=(1+C_{k}^{2}+C_{k}^{4}+\cdots) \cos^{k}{\theta}+\cdots\vspace{2ex}\\&=2^{k-1}\cos^{k}{\theta}+\cdots \end{aligned}

故有

\cos{k\theta}=\Re(LHS)=2^{k-1}\cos^{k}{\theta}+\cdots

于是可以利用此公式将 |A| 中第3至第n列元素进行展开

最后用第一列消去其余列的非最高次项后再提出后n-2列的公因式 2^{k-2}\,(k=3,4,\cdots,n)

注意到最后变成了Vandermonde行列式,运用公式求解即可 

参考解题细节:

高代绿皮第四版课后习题复习题一T16_第1张图片

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