浮点数加、减运算步骤

一、浮点数介绍

1.1 浮点数格式：

精度	位数	格式
单精度 float	4个字节32位	符号位1位，阶码8位，尾数23位
双精度 double	8个字节64位	符号位1位，阶码11位，尾数52位

1.2 浮点的表示方法
浮点数在机器中的形式如下所示，采用这种数据格式的机器称为浮点机

浮点数由阶码j和尾数S两部分组成，阶码是整数，阶符和阶码的位数m合起来反应浮点数的表述范围及小数点的实际位置；尾数是小数，其位数n反映了浮点数的精度，数符表示浮点数的正负。

1.3 浮点数表示范围

设浮点数阶码的数值位取m位，尾数是我数值位取n位，当浮点数为非规格化数时，它在数轴上的表示范围如下所示

当浮点数阶码大于最大阶码时称为上溢，此时机器停止运算，进行中断移出处理，当浮点数阶码小于最小阶码时，称为下溢，此时溢出的数绝对值很小，通常将尾数各位强制置零，按机器零处理，此时机器可以继续运行。

1.4 浮点数的规格化

为了提高浮点数的精度，其尾数必须为规格化数，如果不是规格化数，就需要通过修改阶码并同时左右移位数的方法，使其变成规格化数。将非规格化数转化成规格化数的过程称为规格化。

IEEE 754浮点数的尾数总是规格化的，其范围为1.000…0 × 2e~ 1.111…1 × 2 e ，e为指数。
规格化浮点数的最高位总是1，规格化使尾数的所有位都是有效的，因而尾数精度更高。
如：0.10… × 2 e规 格 化 为 1.10… × 2 e-1
10.1… 2 e 规 格 化 为 1.01… × 2 e+1
尾数规格化充分利用了可用的最大精度。如，一个8位非规格话的尾数0.0000101只有4位有效位，而规格化后的8位尾数1.0100011则有8位有效位。

二、浮点数转换二进制

不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范（IEEE floating point standard）的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。IEEE 标准如下：


举例：123.125(10) 分开 “整数” 和 “小数” 两部分来转二进制

123(10)转二进制是：0111 1011(2)
0.125(10)转二进制是：011(2)
0.125 * 2 = 0.25------0
0.25 * 2 = 0.5----------0
0.5 * 2 = 1.0-------------1
（具体转化规则不做详细解释）

根据上面两段生成的是：111 1011.001(2)
用科学记数法表示：1.111011001 * 2^6

不要 1. 剩下的111011001就是尾数(M)，
为什么不要1. 呢？是因为1. 是肯定会有的，所以直接被省略了，取数时候会自动加上1. 来计算

指数(E)=6+127 = 133(10) = 1000 0101(2)
6就是1.111011001 * 2^6 的 6
127由来：因为float的指数(E)是8位，所以根据2^(8-1) - 1 = 127

为什么要指数(E)是6+127呢？
因为指数可能有负数即6也有可能是-6，所以要加上一个数，方便计算，而加上的这个数是根据float和double约定好的固定值。( double的指数(E)是11位，所以如果是double，就要将127改为2^(11-1) - 1 = 1023 )

符号(S)：正数 = 0，负数 = 1
所以123.125 = 0 10000101 1110110010000000000000

三、浮点数运算步骤

3.1 浮点数的加减运算的五个步骤：对阶、尾数运算、规格化、舍入（要求使用对偶舍入）（0舍1入）、溢出判断。

0. 类型提升和对齐：如果两个参与运算的浮点数类型不同，例如一个是float类型，另一个是double类型，那么float类型的数值通常会首先被提升（类型转换）为double类型，这个过程称为类型提升。提升之后的两个数的指数（Exponent）部分需要对齐，即保证它们有相同的指数。

1. 对阶：要实现加减运算，比较小的数的尾数（Mantissa）会根据指数的差异进行右移，直到两个数的阶码相同。在右移的过程中，可能会有精度损失。

2. 尾数运算：当指数对齐后，尾数进行加减运算。对于加法，相同位上的尾数值相加；对于减法，相减。

3. 规格化：加减运算后的结果可能不是规格化的浮点数，所以接下来需要进行规格化处理。这意味着尾数可能需要左移或右移，同时调整指数值，确保尾数的最高有效位（通常）为1。

4. 舍入处理：浮点数的位数是有限的，所以在规格化的过程中，尾数可能需要被截断，这就需要根据选定的舍入模式（如向最近偶数舍入、向下舍入等）来处理这些多余的位。

5. 溢出判断：计算结果可能超出浮点数的表示范围，这可能导致溢出（overflow）或者下溢（underflow）。根据IEEE 754标准，溢出可能会导致得到无穷大表示，而下溢可能导致得到最接近零的数（丢失精度），或者产生特殊的非规格化数（subnormal numbers）。

3.2 计算实例

由于IEEE标准下的浮点操作数已被表示为规格化形式，计算机在进行浮点加法时，为了对齐指数，计算机必须执行下面步骤：
第一步，找出指数较小的数
第二部，使两个数的指数相同
第三步，尾数相加
第四步，如果有必要，将结果规格化
以一个简单的8位尾数和一个未对齐的指数为例说明浮点运算，A = 1.0101001 × 24 ， B=1.1001100×23，计算A+B

注意：
（1）因为IEEE754标准的32位单精度浮点数的指数与尾数位于位于同一个字中，所以在加法过程开始之前必须将它们分离开。
（2）如果两个指数的差大于p+1，p为尾数的位数，这里p=23，较小的数由于太小而无法影响较大的数，结果实际就等于较大的数。
（3）结果规格化时检查指数范围，以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0，而指数上溢出会造成错误。

3.3 舍入机制
浮点运算可能引起尾数位数的相加，需要保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断。
比如将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101。截断会产生诱导误差（即误差是由施加在数上的操作计算所引起的），诱导误差是偏差的，因为截断后的数总比截断数小。

舍入是一种更好的减少数的尾数的技术。如果舍弃的位的值大于剩余数的最低位的一半，将剩余数的最低位+1。

要找到中间值，先确定要保留的有效数字，找到要保留的有效数字最低位的下一位。如果这位是进制的一半，而且之后的位数都为 0，则这个值就是中间值。

舍入机制：
（1）最简单的舍入机制是截断或向0舍入。
（2）向最近的数舍入：选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。
（3）向正或负无穷大舍入：选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。
（4）向偶数舍入：当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时，IEEE舍入机制选择最低位为0的点（即向偶数舍入）

舍入到最近的偶数例子：
十进制的 1.2500，要保留到小数点后一位，下一位是 5，是进制的一半，后面位数都为 0，所以这个值就是中间值
二进制的 10.0110，要保留到小数点后两位，下一位是 1，是进制的一半，后面位数都为 0，所以这个值就是中间值
知道了舍入规则之后(舍弃的位的值大于剩余数的最低位的一半)，
看几个具体的例子，以二进制为例，有效位数保留到小数点后两位（保留两位数的话，0.xx1是余数的最低位的一半）。
10.00_011，中间值为 10.00100，小于中间值，向下舍入为 10.00
10.00_110，中间值为 10.00100，大于中间值，向上舍入为 10.01
10.11_100，中间值为 10.11100，等于中间值，要保留的最低有效位 1 为奇数，向上舍入为 11.00
10.10_100，中间值为 10.10100，等于中间值，要保留的最低有效位 0 为偶数，向下舍入为 10.10