7基础算法之桶排序,计数排序,基数排序

桶排序、计数排序、基数排序。因为这些排序算法的时间复杂度是线性的,所以我们把这类排序算法叫作线性排序(Linear sort)。之所以能做到线性的时间复杂度,主要原因是,这三个算法是非基于比较的排序算法,都不涉及元素之间的比较操作。

这几种排序算法理解起来都不难,时间、空间复杂度分析起来也很简单,但是对要排序的数据要求很苛刻,所以我们今天学习重点的是掌握这些排序算法的适用场景。

桶排序(Bucket sort)

首先,我们来看桶排序。桶排序,顾名思义,会用到“桶”,核心思想是将要排序的数据分到几个有序的桶里,每个桶里的数据再单独进行排序,桶内排完序之后,再把每个桶里的数据按照顺序依次取出,组成的序列就是有序的了。


桶排序示意图

桶排序的时间复杂度为什么是 O(n) 呢?我们一块儿来分析一下。

如果要排序的数据有 n 个,我们把它们均匀地划分到 m 个桶内,每个桶里就有 k=n/m 个元素。每个桶内部使用快速排序,时间复杂度为 O(k * logk)。m 个桶排序的时间复杂度就是 O(m * k * logk),因为 k=n/m,所以整个桶排序的时间复杂度就是 O(n*log(n/m))。当桶的个数 m 接近数据个数 n 时,log(n/m) 就是一个非常小的常量,这个时候桶排序的时间复杂度接近 O(n)。

桶排序比较适合用在外部排序中。所谓的外部排序就是数据存储在外部磁盘中,数据量比较大,内存有限,无法将数据全部加载到内存中。
比如说我们有 10GB 的订单数据,我们希望按订单金额(假设金额都是正整数)进行排序,但是我们的内存有限,只有几百 MB,没办法一次性把 10GB 的数据都加载到内存中。这个时候该怎么办呢?

现在我来讲一下,如何借助桶排序的处理思想来解决这个问题。

我们可以先扫描一遍文件,看订单金额所处的数据范围。假设经过扫描之后我们得到,订单金额最小是 1 元,最大是 10 万元。我们将所有订单根据金额划分到 100 个桶里,第一个桶我们存储金额在 1 元到 1000 元之内的订单,第二桶存储金额在 1001 元到 2000 元之内的订单,以此类推。每一个桶对应一个文件,并且按照金额范围的大小顺序编号命名(00,01,02…99)。

理想的情况下,如果订单金额在 1 到 10 万之间均匀分布,那订单会被均匀划分到 100 个文件中,每个小文件中存储大约 100MB 的订单数据,我们就可以将这 100 个小文件依次放到内存中,用快排来排序。等所有文件都排好序之后,我们只需要按照文件编号,从小到大依次读取每个小文件中的订单数据,并将其写入到一个文件中,那这个文件中存储的就是按照金额从小到大排序的订单数据了。

不过,你可能也发现了,订单按照金额在 1 元到 10 万元之间并不一定是均匀分布的 ,所以 10GB 订单数据是无法均匀地被划分到 100 个文件中的。有可能某个金额区间的数据特别多,划分之后对应的文件就会很大,没法一次性读入内存。这又该怎么办呢?

针对这些划分之后还是比较大的文件,我们可以继续划分,比如,订单金额在 1 元到 1000 元之间的比较多,我们就将这个区间继续划分为 10 个小区间,1 元到 100 元,101 元到 200 元,201 元到 300 元…901 元到 1000 元。如果划分之后,101 元到 200 元之间的订单还是太多,无法一次性读入内存,那就继续再划分,直到所有的文件都能读入内存为止。

计数排序(Counting sort)

计数排序其实是桶排序的一种特殊情况。当要排序的 n 个数据,所处的范围并不大的时候,比如最大值是 k,我们就可以把数据划分成 k 个桶。每个桶内的数据值都是相同的,省掉了桶内排序的时间。

。如果你所在的省有 50 万考生,如何通过成绩快速排序得出名次呢?

考生的满分是 900 分,最小是 0 分,这个数据的范围很小,所以我们可以分成 901 个桶,对应分数从 0 分到 900 分。根据考生的成绩,我们将这 50 万考生划分到这 901 个桶里。桶内的数据都是分数相同的考生,所以并不需要再进行排序。我们只需要依次扫描每个桶,将桶内的考生依次输出到一个数组中,就实现了 50 万考生的排序。因为只涉及扫描遍历操作,所以时间复杂度是 O(n)。
计数排序的算法思想就是这么简单,跟桶排序非常类似,只是桶的大小粒度不一样。不过,为什么这个排序算法叫“计数”排序呢?“计数”的含义来自哪里呢?
考生的成绩从 0 到 5 分,我们使用大小为 6 的数组 C[6] 表示桶,其中下标对应分数。不过,C[6] 内存储的并不是考生,而是对应的考生个数。像我刚刚举的那个例子,我们只需要遍历一遍考生分数,就可以得到 C[6] 的值。

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从图中可以看出,分数为 3 分的考生有 3 个,小于 3 分的考生有 4 个,所以,成绩为 3 分的考生在排序之后的有序数组 R[8] 中,会保存下标 4,5,6 的位置。

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那我们如何快速计算出,每个分数的考生在有序数组中对应的存储位置呢?这个处理方法非常巧妙,很不容易想到。

思路是这样的:我们对 C[6] 数组顺序求和,C[6] 存储的数据就变成了下面这样子。C[k] 里存储小于等于分数 k 的考生个数。


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有了前面的数据准备之后,现在我就要讲计数排序中最复杂、最难理解的一部分了,请集中精力跟着我的思路!

我们从后到前依次扫描数组 A。比如,当扫描到 3 时,我们可以从数组 C 中取出下标为 3 的值 7,也就是说,到目前为止,包括自己在内,分数小于等于 3 的考生有 7 个,也就是说 3 是数组 R 中的第 7 个元素(也就是数组 R 中下标为 6 的位置)。当 3 放入到数组 R 中后,小于等于 3 的元素就只剩下了 6 个了,所以相应的 C[3] 要减 1,变成 6。

以此类推,当我们扫描到第 2 个分数为 3 的考生的时候,就会把它放入数组 R 中的第 6 个元素的位置(也就是下标为 5 的位置)。当我们扫描完整个数组 A 后,数组 R 内的数据就是按照分数从小到大有序排列的了。

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基数排序(Radix sort)

我来总结一下,基数排序对要排序的数据是有要求的,需要可以分割出独立的“位”来比较,而且位之间有递进的关系,如果 a 数据的高位比 b 数据大,那剩下的低位就不用比较了。除此之外,每一位的数据范围不能太大,要可以用线性排序算法来排序,否则,基数排序的时间复杂度就无法做到 O(n) 了。

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