C#，欧拉常数（Euler Constant）的算法与源代码

1 欧拉常数

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德· 欧拉 (Leonhard Euler) 在1735年发表的文章《De Progressionibus harmonicus observationes》中定义。欧拉曾经使用γ作为它的符号，并计算出了它的前6位，1761年他又将该值计算到了16位 。

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数 。

2 计算结果

3 源程序

using System;

namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{
    public static partial class Number_Sequence
    {
        
        private static double doubleFactorial(int n)
        {
            if (n == 1) return 1;
            else return n * doubleFactorial(n - 1);
        }

        public static double Euler_Constant(int n)
        {
            if (n == 0) return 1;
            else return (1 / doubleFactorial(n) + Euler_Constant(n - 1));
        }
    }
}
 

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)

欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值。

学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

由于ln（1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln（1+1）+ln（1+1/2）+ln（1+1/3）+…+ln（1+1/n)

=ln2+ln（3/2）+ln（4/3）+…+ln[(n+1）/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1）/n]=ln(n+1）

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1）（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln（1+1）+ln（1+1/2）+ln（1+1/3）+…+ln（1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1）-ln(n)=ln（1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln（1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1）=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1）-ln(n+1）]

=ln(n+1）-ln(n)-1/(n+1）=ln（1+1/n)-1/(n+1）

将ln（1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故

ln（1+1/n)-1/(n+1）>1/n-1/（2n^2）-1/(n+1）=1/(n^2+n)-1/（2n^2）>0

即ln（1+1/n)-1/(n+1）>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1）+1/(n+2）+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：

lim[1/(n+1）+1/(n+2）+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

4 代码格式

using System;

namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{
    public static partial class Number_Sequence
    {
        
        private static double doubleFactorial(int n)
        {
            if (n == 1) return 1;
            else return n * doubleFactorial(n - 1);
        }

        public static double Euler_Constant(int n)
        {
            if (n == 0) return 1;
            else return (1 / doubleFactorial(n) + Euler_Constant(n - 1));
        }
    }
}