【ETOJ P1024】无穷背包 题解（动态规划+完全背包）

题目描述

小 $e$ 的背包容量为 $m$，现在商店里有 $n$ 种商品。由于在梦境中，他可以零元购，商店里的每种商品都有无穷件，每件商品有一个价值 $w_i$ 和体积 $v_i$。

问小 $e$ 最多可以带走多少价值的商品？

输入

第一行两个整数表示 $m,n$。（$1\le m\le 10^5,1\le n\le 500$）

接下来 $n$ 行，每行两个整数表示 $w_i,v_i$。（$1\le w_i\le 10^9,1\le v_i\le m$）

输出

一行一个整数表示答案。

样例输入

10 3
2 1
5 3
10 4

样例输出

24

提示

解释：拿两件物品3，再拿两件物品1，得到价值最大为24。

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思路

首先，读取背包容量 $m$ 和商品种类数 $n$，然后读取每种商品的价值和体积。动态规划数组 dp 被定义来存储在给定背包容量下可以获得的最大价值。dp[j] 表示背包容量为 $j$ 时的最大价值。

然后，对于每种商品 $i$，从其体积 $v_i$ 到 $m$ 遍历背包的容量 $j$。如果选择了商品 $i$，背包的容量会减少 $v_i$，但是可以增加 $w_i$ 的价值。因此，dp[j] 被更新为 dp[j] 和 dp[j - v[i]] + w[i] 中的较大值，这表示在背包容量为 $j$ 时，选择或者不选择商品 $i$ 的两种情况下的最大价值。

最后，输出 dp[m]，即在背包容量为 $m$ 时，可以获得的最大价值。

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AC代码

#include 
#include 
#define ll long long
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

int m, n;
int w[N], v[N];
ll dp[N];

int main() {
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}