数据是各种各样的信息,如数字、文本、计算机程序、音乐、图像、符号等等,实际上,信息可以是能够被计算机存储和处理的任何事物。
计算机中存储和处理信息的最小单位是位(Binary digit比特,bit),一个比特的值可以是0或1。
数字计算机将信息以一组或一串比特(称作字)的形式保存在存储器中。如,串01011110表示一个8位的字。
计算机通过高低电压(高低电位)两个电压等级来存储0和1的状态。
计算机通常不会每次只对一个二进制位进行操作,而是对一组二进制位进行操作。
8个二进制位为一个字节(byte),一些计算机制造商用术语“字”表示16位的值,长字表示32位的值,还有一些制造商用字表示32位的值,用半字表示16位的值。
每当数字增加1位,路径的总数将翻一倍。一个n位的字将得到2n条不同路径或位模式。如,一个8位的字节将得到28=256个可能的值。
为了用二进制数表示任何一个拥有最多n个值的量,应找到一个使不等式n<=2m成立的最小位数m。
下图描述了如何用1位、2位、3位和4位得到一个二进制的值序列:
一个二进制串可以表示的对象有:
字长为32位或更长的计算机用一个字来表示CPU能够完成的操作(8位或16位计算机用多个字表示一条指令)。指令的二进制编码与其功能之间的关系由计算机设计者决定。如,一台计算机上表示“A加B”的二进制序列可能与另一台计算机上的完全不同。
一个字或多个字都可以用来表示数量。数可以被表示为多种格式,如有符号、无符号二进制整数、二进制浮点数、整数复数等等。
字符是一个叫作“字母表”的集合中元素。拉丁或罗马字母表中的字母、数字字符(A-Z,a-z,0-9)和*、-、+、?等符号都被分配了二进制值,因此可以在计算机内存储和处理。
ASCII码表用7位表示一个字符,一共可以表示27=128个不同的字符。其中96个字符是可打印字符。其余32个是不可打印字符,用于完成回车、退格、换行等特殊功能。
组成照片的基本单位是像素,每个像素的大小可以是8位(单色)或24位(三基)。
视频作为一串静态图像依次传输,每秒发送60次。
声音通过对波形信号采样。
多媒体信号(如视频、声音)可进行有损压缩。
二进制算术运算规则与十进制基本相同,区别是基数不同。
下面列出了二进制加、减、乘法运算的规则:
两个位相加可能产生进位或借位,和十进制运算规则相同。
下面是4个8位二进制数相加的例子:
当两个二进制数相减时,会从左侧借一位,如:
下面描述了01101001(乘数)与01001001(被乘数)相乘的过程,两个n位字相乘将产生一个2n位的积:
负数可以用多种不同的方式表示,计算机设计者选择了3种方法:符号及值表示法、二进制补码表示法、移码表示法,每种方法都有各自的优缺点。
一个n位字可以表示从0~2n-1共2n个可能的值。如,一个8位的字可以表示0,1,…,254,255。
表示负数的方法是用它的最高位表示符号,通常符号位为0表示正数,符号位为1表示负数。
下面两个8位有符号二进制00001101和10001101的值为:
n位有符号的表示范围为-(2n-1-1) ~ +(2n-1-1)。一个8位有符号数的表示-127(11111111)~ +127(01111111)之间的整数。
有人反对该系统的一个原因是它有两个值都表示0:
00000000 = +0 和 10000000 = -0
符号及值表示法没有被用于整数算术运算中,因为它的加、减法运行需要分别用加法器和减法器实现。符号及值表示法用于浮点算术运算中。
微处理器用二进制补码系统表示有符号整数,它可以将减法运算转换为对减数的补码的加法运算。
补码的求法:
下面说明了8位二进制数的补码运算过程,将4个数+5、-5、+7、-7转换为补码:
将7与5的补码相加:
结果为9位二进制数100000010。如果忽略最左边一位(进位位),结果为000000102=+2,正是希望得到的结果。
将-7加5:
结果为11111110(进位位为0)。也是希望得到的结果-2,即28-2=100000000-00000010=11111110
用补码运算得出的结果也是补码形式,结果若为正,则无需转换(正数的原码与补码一致),可直接读出结果;若为负,则需将补码转换为原码(原码转换为补码的逆过程),才可读出结果。
补码的特点主要有以下几点:
进行移位运算时,一个数的所有位都会向左或向右移动一位,如将00101100左移一位,变为01011000,右移一位,变为00010110。有些计算机每次可以移动多位。
移位运算又可以分为逻辑移位和算术移位:
下图描述了算术移位的过程:
a)算术左移:最低位补0,最高位被复制到进位标志中,如11000101左移一位得到10001010。(在不溢出的情况下相当于乘以2)
b)算术右移:最高位补符号位,所有位右移一位。最低位复制到进位标志中,如00100101右移一位得到00010010。11100101右移一位得到11110010。(在不溢出的情况下相当于除以2)
计算机从乘数的最低位开始,每次检查一位,判断它是否为0,如果乘数的当前位为1则写下被乘数,若该位为0则写下n个0。接下来检查乘数的下一位,这时应从上一位数的左边一位开始写下被乘数或0。被写下的这一组数叫作部分积。得到所有的部分积后,加到一起,得到乘法结果:
乘法结果100000102 = 130是一个8位二进制数。两个二进制数相乘得到一个2n位的积。
但是计算机并没有实现上面的算法,这种算法要求计算机存储n个部分积,然后将它们同时相加。更好的做法是每得到一个部分积就做一次加法。
下面给出了一个计算两个n位无符号二进制数相乘的算法:
步骤a:将计数器的值置为n
步骤b:将2n位的部分积寄存器清零
步骤c:检查乘数的最右位(即最低位),将被乘数与部分积的最低位n位相加
步骤d:将部分积右移一位
步骤e:将乘数右移一位(乘数的最右位被丢弃)
步骤f:将计数器的值减1,重复步骤c直到n个周期后计数器的值变为0。部分积寄存器的内容就是乘积结果。
通过移位和加法实现的乘法速度很慢,实际的计算机采用了多种方法加快乘法运算的速度。
快速乘法是一种在计算机科学中用于加速大整数的乘法的算法。这种方法是基于分治策略,把大问题分解成几个相对较小的子问题来解决。
对于两个 n 位的数 a 和 b,我们可以将其分为两个 n/2 位的数,即 a = a1 * 2(n/2) + a0,b = b1 * 2(n/2) + b0。那么 a*b = a1*b1*2n + (a1*b0 + a0*b1)*2(n/2) + a0*b0。我们需要计算 a1*b1,a1*b0,a0*b1,a0*b0 这四项,然后将结果加起来。但是这样并没有减少计算量,因为我们仍然需要做四次乘法。
然而,通过数学技巧,我们可以将四次乘法减少到三次。这就是所谓的卡拉齐(Karatsuba)算法。该算法是这样进行的:首先计算 a1*b1 和 a0*b0,然后计算 (a1+a0)*(b1+b0),最后用第三个结果减去前两个结果,得到的就是 a1*b0 + a0*b1。
这样,我们只需要做三次乘法,然后再做一些加法和位移操作,就可以得到结果。
无符号二进制除法的例子:
被除数的前5位比除数小,因此商的最高位为0并将除数与被除数的前6位比较:
被除数的前6位中有一个除数,减法后得到新的部分被除数为001010(1111),将被除数的下一位移下来:
新的部分被除数小于除数,因此商的下一位为0,后续除法过程如下:
除法结果商为10111,余数为0。
刚刚讨论的除法方法,用计算机实现,需要修改的就是除数与部分被除数的比较方法,计算机减去并检测结果的符号位。如果减法的结果为正,则商1,如果结果为负,则商0并将部分被除数与除数相加,将其恢复为原先的值。
恢复余数除法算法:
1)将除数的最高位与被除数的最高位对齐
2)从部分被除数中减去除数,得到新的部分被除数
3)如果新的部分被除数为负数,则商0并用新的部分被除数加上除数,恢复原先的部分被除数
4)如果新的部分被除数为正,则商1
5)判断除法是否结束,如果除数的最低位与部分被除数的最低位对齐,则除法结束,最后的部分被除数就是余数。否则,执行第6步
6)将除数右移一位,从第2步继续执行。
不恢复余数除法是一种在计算机算术中常用的除法方法。这种方法的特点是在每一步中,不需要恢复被除数的余数,而是直接将除法的结果累加到商中。这种方法的优点是计算速度快,效率高,但是需要在开始时就确定除数和被除数的位数。
不恢复余数除法的基本步骤如下:
这种方法虽然计算速度快,但是如果除数和被除数的位数较大,可能会导致精度损失。因此,在需要高精度计算的场合,可能需要使用其他的除法方法。
浮点数即实数,实数是所有有理数和无理数的集合。
之所以叫作浮点数,是因为小数点在数中的位置并不是固定的。一个浮点数值分为两部分存储 :数值以及小数点在数值中的位置。
计算机中的浮点运算的计算结果一般是不确定的,一块芯片上的浮点计算结果也许与另一块芯片上的不同。
科学计数法:来表示很大或很小的数。
十进制浮点数可以被表示为:尾数x10指数,如1.2345x1020
二进制浮点数可以被表示为:尾数x2指数,如1.0111x25
IEEE 754浮点数标准提供3种浮点数表示:32位单精度浮点数、64位双精度浮点数、128位四精度浮点数
IEEE 754浮点数的尾数总是规格化的,其范围为1.000…0x2e到1.111…1x2e,e为指数。
规格化浮点数的最高位总是1,规格化使尾数的所有位都是有效的,因而尾数精度最高。
如:
0.10…x2e规格化为1.10…x2e-1
10.1…2e规格化为1.01…x2e+1
IEEE 754浮点数的尾数被表示为符号及值的形式,即用一个符号位表示它是正数还是负数。它的指数则用偏置方式表示,即给真正的指数加上一个常数。
假定所用的指数为8位,偏置值为127。如果一个数的指数为0,则被保存为0 + 127=127。如果指数为-2,则被保存为-2 + 127 = 125。
实数1010.1111规格化的结果为+1.010111x23,指数为+3,将被保存为3+127=130,即130用二进制表示为10000010。
这种用偏置表示指数的方法优点在于,最小的负指数被表示为0,如果不采用这种方法,0的浮点表示为0.0…0x2最小负指数。采用偏置指数,0就可以用尾数0和指数0表示:
一个32位IEEE 754单精度浮点数可以被表示为下面的二进制串:
S EEEEEEEE 1.MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
S为符号位,指明这个数是正数还是负数
E为8位偏置指数,指出了小数点的位置
M为23位尾数
S位为符号位,决定了数的符号,若S=0,则为正数,若S=1,则为负数。
指数E将浮点数的尾数扩大或缩小2E倍,并且偏置值为127。
如浮点数+1.11001…0x212的指数为12+127=13910=100010112 。
IEEE浮点数的尾数总是规格化的,其值范围在1.0000…00~1.1111…11,除非这个浮点数是0,此时尾数为0.000…00。
由于尾数总是规格化的,且最高位总是为1,因此将尾数存入存储器时没有必要保存最高位的1。所以,一个非0的IEEE 754浮点数可被定义为:
S:符号位
E:偏置量为B的指数
F:尾数的小数部分(实际的尾数为1.F,有个隐含的1)
浮点数0被表示为S=0,E=0,M=0(即浮点数0用全0表示)
考虑下面的例子:
将一个32位IEEE单精度浮点数X=11000001100110011000000000000000解压为一个符号位、一个偏置指数和一个尾数。
解压这3个字段得到:S = 1,E=10000011,F=00110011000000000000000
实际的尾数为1. 00110011000000000000000,因此这个数为:
-1. 00110011000000000000000 x 210000011–01111111
= -1.00110011000000000000000 x 24
= -10011.0011
ANSI/IEEE 745-1985标准定义了基本的和扩展的浮点数格式,以及一组数量有限的算术运算的规则(加、减、乘、除、平方根、求余和比较)。
非数(Not a Number,NaN)是IEEE 754标准提供的一个专门符号,代表IEEE 754标准格式所不能表示的数。
下图,IEEE 754标准定义了3种浮点数格式:
在32位IEEE 754单精度浮点数格式中,最大指数Emax为+127,最小指数Emin为-126,而不是+128~-127。Emin-1(即-127)用来表示浮点0,Emax+1用来表示正/负无穷大或NaN数。
1)浮点数接近0时的特点
下图描述了一个指数为2位,尾数为2位的浮点数系统。浮点数0表示为00 000,下一个规格化的正数表示为00 100(即2-bx 1.00,b为偏置常量):
浮点数0附近有一块禁止区,其中的浮点数都是非规格化的,因此无法被表示为IEEE标准格式。这个数的指数和起始位都是0的区域,也可用来表示浮点数。
但是这些数都是非规格化的,其精度比规格化数的进度低,会导致渐进式下溢。
2)IEEE标准规定,缺省的舍入技术应该向最近的值舍入
3)IEEE标准规定了4种比较结果,分别是等于、小于、大于和无序(unordered),无序用于一个操作数是NaN数的情景
4)IEEE标准规定了5种异常:
由于浮点操作数已被表示为规格化形式,在相加时需要对齐指数:
为了对齐指数,计算机必须执行下面步骤:
第1步,找出指数较小的数
第2步,使两个数的指数相同
第3步,尾数相加(或相减)
第4步,如果有必要,将结果规格化
注意:
1)因为指数有时与尾数位于同一个字中,在加法过程开始之前必须将它们分离开(减压缩)
2)如果两个指数的差大于p+1,p为尾数的位数,较小的数由于太小而无法影响较大的数,结果实际就等于较大的数。如,1.1010x260+1.01x2-12的结果为1.1010x260,因为指数之差为72
3)结果规格化时检查指数范围,以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0,而指数上溢会造成错误。
浮点运算可能引起尾数位数的相加,需要保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断。
如,将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101。截断会产生诱导误差(即误差是由施加在数上的操作计算所引起的),诱导误差是偏置的,因为截断后的数总比截断前小。
舍入是一种更好的减少数的位数的技术。如果丢弃的位的值大于剩余数最低位的一半,将剩余数的最低位加1。
考虑两个数在小数点后第4位上舍入的例子:
下图描述了舍入机制:
1)最简单的舍入机制是截断或向0舍入。
2)“向最近的数舍入”方法会选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。
3)“向正或负无穷大舍入”方法会选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。
当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时,IEEE舍入机制选择最低位为0的点(即向偶数舍入)。
整数操作时精确、可重复的,浮点数操作是不精确的。
考虑表达式z = x2-y2,x、y、z都是实数。可以将表达式视作x2-y2或(x+y)(x-y)计算,整数运算得到相同结果,但浮点数运算可能得到不同结果。(由于舍入机制的存在)
误差传播是指在连续的浮点运算中,前一个操作的误差会影响后续操作的结果。例如,如果你先将两个数字相加,然后将结果乘以第三个数字,那么加法操作的误差就会影响到乘法操作的结果。误差传播可能会放大原始误差,特别是在涉及到大量计算的长公式或算法中。
生成数学函数,主要是指通过一些特定的数学方法和技术,计算或近似计算出常见的数学函数的值,如三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
在计算机中,由于硬件的限制,很多数学函数并不能直接进行精确计算,而是需要通过一些特殊的算法进行近似计算。这些算法主要包括以下几种: