Nim-sum原理及应用

算法介绍:

Nim游戏是指两个对手在m个堆中轮流随意从某一个堆中拿出n个元素,假定两个对手都是足够聪明,直至最后一次取的人将所有元素取出,此人取得胜利。与之相反的是Misere游戏,相同的游戏规则,但是最后一次取的人将落败。

为了解决这个问题,有一个叫做nim-sum的方法加以解决,这个方法是这样的

设有三个堆分别是 Heap A, Heap B,Heap C,每个堆分别有8,12,13个元素

1)将每个堆的元素使用二进制表示,分别是1000,1100,1101

2)对三个数进行异或操作,即:

1000
1100
1101
-------
1001

就是十进制的9,这个就是三个堆的nim-sum,如果nim-sum为0,则先手者不可能胜出

3)使用这个计算出来的nim-sum再次分别于三个堆中元素个数进行异或操作,如果得到异或的结果小于堆数则为可选的必胜的操作,即:

情况一:

1000
1001
-------
0001<1000,可以为必胜操作,此时先手者可以从Heap A中取出8(1000)-1(0001)=7个元素,则下一步的nim-sum为0,接下来的策略就是依照这个算法继续进行,模拟操作如下:

HeapA  HeapB  HeapC Nim-Sum

8              12           13             9           先手者从Heap A中拿出7个元素,使得下一步的nim-sum为0,则先手者胜出

1              12            13            0           后手者从Heap B中拿出5个元素

1               7             13            11          先手者从Heap C中取出13-(13^11)=7个元素

1               7               6              0         后手者从Heap B中取出5个元素

1               2               6              5         先手者从Heap C中取出6-(6^5)=3个元素

1               2               3             0          后手者从Heap C中取出3个元素

1               2               0             3          到这一步,如果是nim游戏,则在HeapB中取出1个元素(如果是misere游戏,则全取HeapB所有元素)

1               1               0             0          后手者取出HeapA中一个元素

0               1               0              1         先手者取出HeapB中最后一个元素,先手者胜出

情况二:

1100
1001
-------
0101<1100,可以为必胜操作,此时先手者可以从Heap B中取出12(1100)-5(0101)=7个元素

情况三:

1101
1001
-------
0100<1101,可以为必胜操作,此时先手者可以从Heap C中取出13(1101)-4(010)=9个元素

分析:

如上面8 12 13

对情况一,三个堆可分解为

HeapA    1    7

HeapB   12

HeapC   12   1

多出元素为HeapA中的7,取出后三个堆呈现对称分布

对情况二,三个堆可分解为

HeapA     8

HeapB     5      7

HeapC     5      8

多出元素为HeapB中的7,取出后三个堆呈现对称分布

对情况三,三个堆可分解为

HeapA    8

HeapB    8     4

HeapC    4     9

多出元素为HeapC中的9,取出后三个堆呈现对称分布

  

总结:

1.可以通过计算所有堆的nim-sum得出先手者是否可以取胜,如果不是0则可以,为0则不可以

2.可以用计算后的nim-sum分别与所有堆的元素进行异或操作,如果得到结果小于原来堆的元素,则为可选操作

 

例子:

以hdoj中1850为例:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850,代码如下:

#include


void main(){
	int m,a[101]={0},nim,result;
	while(1){
		nim = 0;
		result =0;
		scanf("%d",&m);
		if(m==0)
			break;
		for(int i=1; i<=m; i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			nim = nim^a[i];
		}
		if(nim ==0){
			printf("0\n");
			break;
		}
		for(int j=1; j<=m; j++){
			if((nim^a[j])

 

参考:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nim
 

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