Manacher算法

什么是Manacher算法

Manacher算法又叫马拉车算法，是用来解决最长回文子串长度的问题的。可以通过O(N)的时间复杂度求出最长回文子串，它也会有很多的拓展运用。

1.如何通过暴力求出最长回文子串长度

我们先来看看如何去暴力求呢？

我们是不是可以通过枚举每一个字符，看以他为中心最多会向外延伸出多长的回文串，最后求一个max，这样看似可以，但是我们会错过偶数的回文串，我们看下面这个图。

我们发现这个回文子串的长度因该是4，按照刚才的解法求出来的是1，如何把偶数长度也考虑进来呢？我们可以样做，可以补充一些字符。

这样我们算出最长回文子串长度为9，然后我们原字符串的最长回文串的长度为：[现在的最长回文长度/2]
也就是[9/2]=4，这样就可以把奇偶回文都包含进去了，但是时间复杂度还是O(N²),接下来我们看看如何优化。

2.Manacher算法的实现步骤

2.1相关定义和变量

Mannacher算法也和KMP算法一样有一个数组来记录信息，这个数组是来记录最长回文半径的数组。我们先来看看回文半径的概念

对于原字符串中的每一个字符，以这个字符为中心的最长回文串长度的一半向上取整就是其回文半径。

然后还有两个变量，一个为C，一个为R。
R:最长回文的区间右边界的最大值。
C:右边界最大值所对应的中心点，也就是R所对应的圆心。
下面举两个例子

2.2四种情况的分析

(1)如果此时访问的元素在没有被包含在R的范围内，比如
此时0的左右边界为[0,0]所以，C=0，R=0，PArr[0]=1 (PArr存储的是该下标所对应的回文半径)

(2)如果此时的指针 i 在这个R的范围之内，我们可以找出它的对称的点 i’ 这样又可以分出来3种情况

1.如果此时的 i +PArr[i’]

2.如果此时的 i +PArr[i’]>R时，有下面这个图

3.当i+PArr[i’]==R的时候

2.3代码实现

string ManacherString(string s)
{
    int size = 2 * s.size() + 1;
    int idx = 0;
    string res="";

    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        if (i % 2 == 0) res += '#';
        else res += s[idx++];
    }

    return res;
}

int Manacher(string s)
{
    //PArr : 以每一个位置为回文中心求出的回文半径长度
    //R : 最大回文右边界，以当前位置i及其之前的字符为回文中心的回文串所能达到的最右边界
    //C : 当前指针i之前且与R最近的回文中心
    if (s.length() == 0)return 0;
    string str= ManacherString(s);
    vector<int>PArr(str.size());
    int sup = -0x3f3f3f3f;

    int R = -1, C = -1;
    
    //这里的R指的是最右边界的下一个位置
    for (int i = 0; i < str.size(); i++)
    {
        //这个处理了R>i+PArr[i']和R
        PArr[i] = R > i ? min(PArr[2 * C - i], R - i) : 1;
        //下面处理R
        while (i + PArr[i] < str.size() && i - PArr[i]>=0)
        {
            if (str[i + PArr[i]] == str[i - PArr[i]])
            {
                PArr[i]++;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
        //判断右边界是否更新
        if (i + PArr[i] > R)
        {
            R = i + PArr[i];
            C = i;
        }
        sup = max(sup, PArr[i]);
        return sup-1;
    }

}

下面时例题

最长回文子串