博弈论-动态博弈、博弈树习题

本题目来自河北大学王亮老师的网站：

Software Security Lab, Hebei University (hbusoftsec.org.cn)

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题号：39     分值：20

设一个四阶段两参与者之间的动态博弈如下图所示。试完成：
(1)找出全部子博弈；
(2)讨论该博弈中的策略可信性；
(3)求出子博弈完美纳什均衡；
(4)写出均衡解下博弈的结果。

博弈方N=2：  参与者1  参与者2

括号内的第一个数字代表第一个采取行动的人的收益，第二个数字表示第二个采取行动的人的收益（有三人及以上的博弈以此类推）

(1)找出全部子博弈

动态博弈的结果包括双方采用的策略组合、实现的博弈路径和各博弈方的得益。

子博弈可看作是动态博弈中满足一定要求的次级博弈。完美信息多阶段动态博弈基本上都有一级或多级子博弈。

子博弈的特点：1.动态博弈本身不是它自己的子博弈；2.子博弈不能分割任何信息集。

在本题中，共有4个子博弈，分割方式如下：

所以全部的子博弈(共四个)为：

子博弈树-1

子博弈树-2

子博弈树3(左) 和 子博弈树4(右)：

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(2)讨论该博弈中的策略可信性

这一问其实最好结合第(3)问做，因为第三问给出了子博弈完美纳什均衡，根据均衡解去讨论可信性。

子博弈纳什均衡解为(b,d,e,h)，我们仍然采用逆向的方向去讨论。

在第四阶段，参与者2选择了h，所以g是不可信的；

在第三阶段，参与者1选择了e，所以f是不可信的；

在第二阶段，参与者2选择了d，所以c是不可信的；

在第一阶段，参与者1选择了b，所以a是不可信的。

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(3)子博弈完美纳什均衡

子博弈完美纳什均衡是纳什均衡，具有策略稳定性；且它不包含任何不可信的威胁或许诺。

求解子博弈完美纳什均衡的基本方法：逆推归纳法。此法可以消除不可信的威胁或许诺，用此法得到的策略组合不存在不可信行为。

逆推归纳法：

首先从最后一个阶段开始比较参与者2所获得的博弈，由于2是理性的，5<6,所以2一定会选择h。

将(3,6)提到上一个阶段，这时参与者1将进行抉择，因为4>3，参与者1选择e。

再将(4,3)提至上一阶段，这时由2进行选择，3<4,所以2选择d。

最后将(2,4)提到上一个阶段，此时轮到1选择，由于2<5，所以1必定选择b：

找到了子博弈完美纳什均衡(b,d,e,h)。

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(4)写出均衡解下博弈的结果。

根据第三问得出的子博弈完美纳什均衡(b,d,e,h),

可得均衡解下的博弈结果是  ：参与者1在第一阶段选择b路径，博弈结束。

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本博客中引用的优秀内容链接如下，在此鸣谢：

博弈论|动态博弈中的威胁可信问题 - 知乎 (zhihu.com)

完全且完美信息动态博弈—习题 - 知乎 (zhihu.com)
【博弈论笔记】第三章 完全且完美信息动态博弈-CSDN博客