C语言经典算法之逻辑回归算法

目录

前言

A.建议

B.简介

一 代码实现

二 时空复杂度

A.时间复杂度分析：

B.空间复杂度分析：

C.总结

三 优缺点

A.优点

B.缺点

四 现实中的应用

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前言

A.建议

1.学习算法最重要的是理解算法的每一步，而不是记住算法。

2.建议读者学习算法的时候，自己手动一步一步地运行算法。

B.简介

在C语言中实现逻辑回归算法，我们需要构建一个模型来预测二元分类问题的概率，并使用梯度下降或其他优化方法找到最佳的模型参数。

一 代码实现

以下是一个简化的逻辑回归算法框架，它包括正向传播（计算概率）、损失函数计算、以及梯度计算和更新权重的过程：

#include 
#include 
#include 

// 假设我们有一个数据结构表示样本
typedef struct {
    double *features; // 特征向量
    int label; // 样本标签（0或1）
} Sample;

// 逻辑回归模型参数
typedef struct {
    double *weights; // 权重向量
    double bias; // 截距项
} LogisticRegression;

// Sigmoid函数（激活函数）
double sigmoid(double z) {
    return 1.0 / (1.0 + exp(-z));
}

// 计算给定样本的预测概率
double predict_probability(LogisticRegression *model, Sample *sample) {
    double dot_product = 0;
    for (int i = 0; i < feature_count; ++i) {
        dot_product += model->weights[i] * sample->features[i];
    }
    double z = dot_product + model->bias;
    return sigmoid(z);
}

// 计算交叉熵损失
double cross_entropy_loss(LogisticRegression *model, Sample *samples, int num_samples) {
    double loss = 0.0;
    for (int i = 0; i < num_samples; ++i) {
        double y_hat = predict_probability(model, &samples[i]);
        loss -= samples[i].label * log(y_hat) + (1 - samples[i].label) * log(1 - y_hat);
    }
    return loss / num_samples;
}

// 计算梯度
void calculate_gradient(LogisticRegression *model, Sample *samples, int num_samples, double learning_rate) {
    for (int j = 0; j < feature_count; ++j) {
        double gradient_weight = 0;
        for (int i = 0; i < num_samples; ++i) {
            double z = 0;
            for (int k = 0; k < feature_count; ++k) {
                z += model->weights[k] * samples[i].features[k];
            }
            z += model->bias;
            double y_hat = sigmoid(z);
            gradient_weight += (y_hat - samples[i].label) * samples[i].features[j];
        }
        model->weights[j] -= learning_rate * gradient_weight / num_samples;
    }

    // 更新偏置项的梯度
    double gradient_bias = 0;
    for (int i = 0; i < num_samples; ++i) {
        double z = 0;
        for (int k = 0; k < feature_count; ++k) {
            z += model->weights[k] * samples[i].features[k];
        }
        z += model->bias;
        double y_hat = sigmoid(z);
        gradient_bias += (y_hat - samples[i].label);
    }
    model->bias -= learning_rate * gradient_bias / num_samples;
}

int main() {
    // 初始化模型参数，载入数据集等操作...
    
    // 梯度下降训练过程循环
    for (int epoch = 0; epoch < max_epochs; ++epoch) {
        // 在每个epoch中，遍历整个数据集计算梯度并更新参数
        calculate_gradient(&model, data, num_samples, learning_rate);
        
        // 可选：在每轮迭代后计算验证集上的损失以监控模型性能
    }

    // 使用训练好的模型进行预测...
    
    return 0;
}

注意：

• 上述代码是简化的示例，实际应用时需要对输入数据进行预处理，如归一化、缺失值处理等。
• 未包含特征选择或正则化等复杂功能。
• feature_count 表示特征数量，max_epochs 表示最大训练轮数，learning_rate 是学习率。
• 实际情况下可能需要使用更高级的优化器而非简单的批量梯度下降法。

在实践中，还需要考虑如何初始化模型参数、何时停止训练（比如基于验证集性能的早停策略）以及如何更好地利用矩阵运算加速计算。此外，在多类别逻辑回归中，会使用softmax函数代替sigmoid，并修改相应的损失函数和梯度计算方式。

二 时空复杂度

A.时间复杂度分析：

1. sigmoid 函数的时间复杂度为 O(1)，因为它是基于数学运算的简单函数，尽管内部有指数和除法运算，但它们的时间复杂度对输入大小并不敏感。

2. predict_probability 函数的时间复杂度为 O(feature_count)，因为它包含一个外部循环来计算特征向量与权重向量的点积。

3. cross_entropy_loss 函数的时间复杂度为 O(num_samples * feature_count)。它首先遍历所有样本计算预测概率（内部调用了 predict_probability 函数），然后对每个样本计算交叉熵损失项并累加。

4. calculate_gradient 函数的时间复杂度为 O(num_samples * feature_count^2)。外层循环是针对权重向量的特征维度，内层循环则是针对样本数量。在计算梯度时，每个样本都需要进行一次完整的特征向量与权重向量的点积计算。

因此，整个逻辑回归模型训练过程（即 main 函数中的梯度下降循环）的时间复杂度为 O(max_epochs * num_samples * feature_count^2)，其中 max_epochs 是最大迭代次数。

B.空间复杂度分析：

1. 结构体 Sample 和 LogisticRegression 中存储了指向特征向量和权重向量的指针，假设特征向量长度为 feature_count，则存储样本数据和模型参数的空间复杂度为 O(num_samples * feature_count + feature_count)。

2. 计算梯度过程中，由于使用了临时变量存储中间结果，这部分空间复杂度可视为常数，即 O(1)。

C.总结

综上所述，在这个逻辑回归实现中，主要关注的是时间复杂度，尤其是对于大规模数据集和高维特征时，算法可能需要较长的训练时间。而空间复杂度相对较低，主要取决于样本数量和特征维度。

三 优缺点

A.优点

1. 易于理解和实现：逻辑回归的数学原理相对简单，基于线性函数和sigmoid函数将连续值映射到(0,1)区间内，然后进行概率解释。这使得算法对初学者友好且易于实现。

2. 可解释性强：每个特征都有对应的权重，可以直观地理解各特征对于预测结果的影响程度，有助于业务理解和决策支持。

3. 计算效率高：逻辑回归的训练过程可以通过优化算法（如梯度下降法）高效完成，尤其是在小型数据集上，相比于复杂的非线性模型更快。

4. 扩展性强：可以很容易地拓展到多类问题，通过softmax函数转换为多类别逻辑回归（softmax regression），适用于多分类任务。

5. 正则化能力：逻辑回归可以方便地添加正则化项（L1或L2惩罚），有效防止过拟合，提高模型泛化能力。

6. 输出概率：模型输出的是类别概率，能够提供预测的置信度信息，这对于某些应用场景非常有价值。

7. 适合大规模数据在线更新：逻辑回归模型参数更新规则简洁，易于实施在线学习和增量学习。

B.缺点

1. 线性决策边界：由于逻辑回归本质上是一个线性模型（尽管在特征空间上应用了非线性的sigmoid函数），因此它只能处理线性可分的问题，对于复杂、非线性相关的关系表现不佳。

2. 处理多特征交互能力有限：逻辑回归无法自动捕获特征间的高阶交互效应，需要手动创建多项式特征或者使用其他技术来考虑这些交互关系。

3. 敏感于异常值：虽然逻辑回归模型对于离群值的敏感度不如线性回归那么高，但在极端情况下，若存在大量异常值仍可能影响模型性能。

4. 不适合数据不平衡问题：当样本类别分布严重不均衡时，逻辑回归可能会过于偏向多数类别，需要额外的技术如重采样、调整类别权重等手段来解决。

5. 无法直接处理非数值型数据：逻辑回归要求输入变量是数值形式，对于非数值型数据（如文本、类别标签）需要先进行预处理和编码。

6. 假设条件严格：逻辑回归模型建立在响应变量与独立变量之间满足一定的概率分布假设之上，实际数据未必完全符合这些假设，可能导致模型效果受限。

四 现实中的应用

逻辑回归算法在现实中的应用非常广泛，主要因为它是一种简单且易于解释的分类模型，适用于处理二元分类问题和多类别分类问题（通过扩展为softmax回归）。以下是一些具体的应用场景：

1. 金融风险评估：在银行和金融机构中，逻辑回归被用来预测信用卡违约、贷款违约或保险索赔的可能性。根据客户的信用评分、收入、年龄、工作稳定性等因素构建模型，以确定是否批准贷款或设定合理的保险费率。

2. 市场营销：逻辑回归用于分析用户行为数据，预测用户响应营销活动的概率，比如邮件订阅、购买产品、点击广告等，帮助企业优化营销策略并提高转化率。

3. 医学诊断与预测：在医疗领域，逻辑回归可以用来预测患者患病的风险，如心血管疾病、糖尿病并发症等。医生可以根据患者的生理指标、生活习惯和其他临床特征来估计疾病发生的可能性。

4. 电子商务：电商平台使用逻辑回归预测用户是否会购买某个商品、是否会成为付费会员、是否会进行二次购买等，从而实现个性化推荐和精准营销。

5. 人力资源管理：逻辑回归可以应用于员工留存预测，通过对员工的工作满意度、绩效、在职年限等信息建模，预测员工离职概率，帮助公司提前采取措施保留关键人才。

6. 在线教育：在线教育平台可能利用逻辑回归预测学生的学习成果或者考试成绩，依据学生的学习时长、答题正确率、参与互动程度等因素预测其通过课程或获得高分的可能性。

7. 互联网广告投放：针对网络广告点击率CTR预估，逻辑回归可结合用户浏览历史、地理位置、设备类型等信息，预测用户点击广告的概率，指导广告投放策略。

8. 法律与政策制定：逻辑回归还可用于社会科学研究，如预测被告是否有罪、判决结果如何，以及政策实施对某一现象的影响效果等。