算法分析与设计（二）——旅行售货员问题

一、问题描述

某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程，他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到住地的路线，使总的路程最短。
邻接矩阵：
如下无向图结构和其邻接矩阵表示，共4个顶点

二、设计过程

1.输入输出设计

输入：
4 6
1 2 30
1 3 6
1 4 4
2 4 10
2 3 5
3 4 20
输出：
路线为:
1 3 2 4 1

2.算法设计：

回溯法，序列树， 假设起点为 1。
算法开始时 x = [1, 2, 3, ..., n]
x[1 : n]有两重含义 x[1 : i]代表前 i 步按顺序走过的城市， x[i + 1 : n]代表还未经过的城市。利用Swap函数进行交换位置。
若当前搜索的层次i = n 时，处在排列树的叶节点的父节点上，此时算法检查图G是否存在一条从顶点x[n-1] 到顶点x[n] 有一条边，和从顶点x[n] 到顶点x[1] 也有一条边。若这两条边都存在，则发现了一个旅行售货员的回路即：新旅行路线），算法判断这条回路的费用是否优于已经找到的当前最优回路的费用bestcost，若是，则更新当前最优值bestcost和当前最优解bestx。
若i < n 时，检查x[i - 1]至x[i]之间是否存在一条边, 若存在，则x [1 : i ] 构成了图G的一条路径，若路径x[1: i] 的耗费小于当前最优解的耗费，则算法进入排列树下一层，否则剪掉相应的子树。

三、程序代码

···

include

using namespace std;
const int max_ = 0x3f3f3f;
const int NoEdge = -1;
int citynum;
int edgenum;
int currentcost;
int bestcost;
int Graph[100][100];
int x[100];
int bestx[100];
void InPut()
{
int pos1, pos2, len;
scanf("%d %d", &citynum, &edgenum);
memset(Graph, NoEdge, sizeof(Graph));
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
{
scanf("%d %d %d", &pos1, &pos2, &len);
Graph[pos1][pos2] = Graph[pos2][pos1] = len;
}
}
void Initilize()
{
currentcost = 0;
bestcost = max_;
for(int i = 1; i <= citynum; ++i)
{
x[i] = i;
}
}
void Swap(int &a, int &b)
{
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
void BackTrack(int i) //这里的i代表第i步去的城市而不是代号为i的城市
{
if(i == citynum)
{
if(Graph[x[i - 1]][x[i]] != NoEdge && Graph[x[i]][x[1]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]] < bestcost || bestcost == max_))
{
bestcost = currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]];
for(int j = 1; j <= citynum; ++j)
bestx[j] = x[j];
}
}
else
{
for(int j = i; j <= citynum; ++j)
{
if(Graph[x[i - 1]][x[j]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[j]] < bestcost || bestcost == max_))
{
Swap(x[i], x[j]); //这里i 和 j的位置交换了, 所以下面的是currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];
currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];
BackTrack(i + 1);
currentcost -= Graph[x[i - 1]][x[i]];
Swap(x[i], x[j]);
}
}
}
}
void OutPut()
{
cout << "路线为:" << endl;
for(int i = 1; i <= citynum; ++i)
cout << bestx[i] << " ";
cout << "1" << endl;
}
int main()
{
InPut();
Initilize();
BackTrack(2);
OutPut();
}
···

四、运行结果