极限的唯一性推导

定义推导

根据函数的$y=f(x)$的定义,x∈集合A,y∈集合B,集合A对应B的关系是单射即一个x只能对应一个y。固$\underset{x->\ast }{\lim }f(x)=A$存在,那么其极限必定唯一

反证法

$函数f(x)存在极限\underset{x->\ast }{\lim }f(x)=L_1,\underset{x->\ast }{\lim }f(x)=L_2,L_1>L_2$
根据极限定义:$\forall ϵ>0(\exists N\in N^{\ast }((n>N)\Rightarrow |a_n-A|<ϵ)))$

• 令$\forall ϵ=L_1+L_2$
• $\underset{x->x_0}{\lim }f(x)-L_1<L_1+L_2$
• $\underset{x->x_0}{\lim }f(x)-L_2=L_1+L_2$
• $\underset{x->x_0}{\lim }f(x)<L_2,\underset{x->x_0}{\lim }f(x)<L_1$
  不可能存在$L_1<L_2同时L_1<L_1的情况$
  故极限必单调