通过增加缓存优化斐波那契递归的冗余计算

一、python

斐波那契数列的递归实现存在大量的冗余计算。例如，为了计算fib(n)，我们需要计算fib(n-1)和fib(n-2)，但是在计算fib(n-1)的过程中，我们又会重复计算fib(n-2)。当n的值很大时，这种冗余计算会消耗大量的计算资源。

为了解决这个问题，我们可以使用一种称为“记忆化”（Memoization）的技术。记忆化是一种优化技术，它将之前计算的结果存储起来，以便在需要时重新使用，而不是重新计算。

在斐波那契数列的递归实现中，我们可以创建一个缓存（通常是一个字典或数组），用于存储已经计算过的斐波那契数。每次计算新的斐波那契数时，我们首先检查缓存中是否已经存在该结果。如果存在，我们直接返回缓存中的结果，避免了冗余计算。如果不存在，我们进行计算，并将结果存储在缓存中，以便将来使用。

以下是一个使用Python实现的带有记忆化的斐波那契数列递归函数：

def fibonacci(n, cache={}):
    if n in cache:
        return cache[n]
    elif n <= 2:
        cache[n] = 1
    else:
        cache[n] = fibonacci(n-1, cache) + fibonacci(n-2, cache)
    return cache[n]

在这个函数中，我们使用了一个名为`cache`的字典作为缓存。每次调用函数时，我们首先检查`n`是否已经在`cache`中。如果是，我们直接返回`cache[n]`。否则，我们计算`fibonacci(n)`，并将结果存储在`cache`中。注意，我们在递归调用`fibonacci(n-1, cache)`和`fibonacci(n-2, cache)`时也传递了`cache`，以便在这些递归调用中也可以使用缓存。

二、go

斐波那契数列的递归实现因为重复地计算了很多子问题而效率比较低。这是一个典型的动态规划问题，可以通过“备忘录”方法优化，即在递归过程中记录已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。
这里给一个使用备忘录优化斐波那契计算的Go代码示例：

package main

import (
    "fmt"
)

// 计算斐波那契数列的函数，使用备忘录优化递归
func fibonacci(n int, memo map[int]int) int {
    // 如果这个值已经计算过，直接从备忘录中返回
    if val, found := memo[n]; found {
        return val
    }
    // 边界条件
    if n <= 1 {
        return n
    }
    // 递归计算
    result := fibonacci(n-1, memo) + fibonacci(n-2, memo)
    // 将计算结果保存到备忘录
    memo[n] = result
    return result
}

func main() {
    // 初始化备忘录，用于存储已经计算过的斐波那契数
    memo := make(map[int]int)
    // 计算并打印第10个斐波那契数
    fmt.Println(fibonacci(10, memo))
}

在本例中，备忘录 memo 是一个Go语言的映射（map），它的键（key）是正在计算的 n 的值，而值（value）是对应斐波那契数。在函数 fibonacci 中，如果我们发现已经计算过了，就直接返回存储在 memo 中的结果。如果没有计算过，我们就计算它，并将结果保存到 memo 中，以便后续使用。
这种方法显著减少了计算量，因为每个斐波那契数值只计算一次。递归函数现在有线性的时间复杂度 O(n)，而不是没有优化的递归版本的指数时间复杂度。