机器学习入门--支持向量机原理与实践

支持向量机模型

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的监督学习算法，主要用于分类和回归问题。它的原理简单而强大，在许多实际应用中取得了很好的效果。

原理

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，用于分类和回归问题。其原理是基于统计学习理论中的结构风险最小化原则。

SVM的主要思想是将数据通过一个高维特征空间进行映射，使得在该空间中不同类别的数据能够被一个超平面（线性分类）或多个超平面（非线性分类）分割开来。

具体而言，SVM通过寻找一个最优的超平面，使得离该超平面最近的训练样本点到该超平面的距离（即间隔）最大。这些距离最近的样本点被称为支持向量，它们决定了超平面的位置和方向。

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，它的目标是在特征空间中找到一个最优的超平面，能够将两类样本分开，并且使得边际最大化。

假设有一个样本集合 $D=\{{\mathbf{x}}_i,y_i\}$，其中 ${\mathbf{x}}_i\in R^n$ 表示样本的特征向量，$y_i\in \{-1,1\}$ 表示样本的类别。SVM 的模型可以表示为：

$$\begin{array}{rl}\underset{\mathbf{w},b,\xi }{\min }& \frac{1}{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2+C\sum _{i=1}^m{\xi }_i\\ s.t.& y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1-{\xi }_i,i=1,2,\cdots ,m\\ & {\xi }_i\ge 0,i=1,2,\cdots ,m\end{array}$$

其中，$\mathbf{w}$ 是超平面的法向量，$b$ 是截距，${\xi }_i$ 是松弛变量，$C>0$ 是惩罚参数，用于控制分类误差和边际的平衡。上述问题可以转化为对偶形式：

$$\begin{array}{rl}\underset{\alpha }{\max }& \sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{y}_i{y}_j{\alpha }_i{\alpha }_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j\\ s.t.& \sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0\\ & 0\le {\alpha }_i\le C,i=1,2,\cdots ,m\end{array}$$

其中，${\alpha }_i$ 是拉格朗日乘子。对于新的样本 $\mathbf{x}$，它的分类结果可以表示为：

$$f(\mathbf{x})=\mathrm{sign}\left(\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i^T\mathbf{x}+b\right)$$

超平面的方程可以表示为：

$$\mathbf{w}=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i$$

$$b=y_k-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_k$$

其中，$k$ 表示支持向量的下标。

SVM 的核函数可以将数据从原始空间映射到一个更高维的空间，从而实现非线性分类。常用的核函数有线性核、多项式核、高斯径向基核等。

代码实现

# 导入必要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix
from sklearn.decomposition import PCA

# 载入乳腺癌数据集
cancer = datasets.load_breast_cancer()
X, y = cancer.data, cancer.target
# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)
# PCA 数据降维
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)
# 分割数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_pca, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建模型
model = SVC(kernel='linear')
model.fit(X_train, y_train)
y_pred = model.predict(X_test)
# 评估模型性能
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("准确率：", accuracy)
# 绘制分类结果
h = 0.02  # 网格步长
x_min, x_max = X_pca[:, 0].min() - 1, X_pca[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X_pca[:, 1].min() - 1, X_pca[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 将结果绘制成彩色图
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.coolwarm, alpha=0.8)
# 将原始数据点绘制在图上
plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.coolwarm, edgecolors='k')
plt.title('Breast Cancer Binary Classification - SVM')
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.savefig('Breast Cancer Binary Classification - SVM.png')
plt.show()

上述代码是一个使用支持向量机（SVM）对乳腺癌数据集进行分类的示例。首先，我们使用 datasets.load_breast_cancer 函数从 scikit-learn 库中载入乳腺癌数据集。然后，我们对数据进行标准化处理，以确保各个特征具有相同的尺度。接下来，我们使用主成分分析（PCA）对数据进行降维，将高维的数据投影到二维空间中。

在数据预处理完成后，我们将数据集分割为训练集和测试集，其中训练集占比80%。我们创建了一个基于线性核函数的支持向量机模型，并使用训练集对模型进行训练。训练完成后，我们利用训练好的模型对测试集进行预测，得到预测结果。

接下来，我们计算模型的准确率，用于评估分类模型的性能。最后，我们利用 Matplotlib 库绘制了分类结果的可视化图表（如下图所示）。

总结

支持向量机（SVM）是一种常用的监督学习算法，可以用于分类和回归问题。它的原理是通过寻找一个最优的超平面，将不同类别的数据分割开来，并使得边际最大化。SVM可以处理线性和非线性分类问题，并借助核函数将数据映射到高维空间。该算法的实现通常包括数据预处理、模型训练、预测和性能评估等步骤。在本例中，我们使用SVM对乳腺癌数据集进行二分类，利用主成分分析进行数据降维。最后，我们绘制了分类结果的可视化图表。如果文章存在其他问题，请随时提出，欢迎批评指正！