【小赛1】蓝桥杯双周赛第5场（小白）思路回顾
我的成绩：小白(5/6)
完稿时间：2024-2-13
比赛地址：https://www.lanqiao.cn/oj-contest/newbie-5/
相关资料：
1、出题人题解：“蓝桥杯双周赛·第5次强者挑战赛/小白入门赛”出题人题解 - 知乎 (zhihu.com)
2、矩阵快速幂：算法学习笔记(4)：快速幂 - 知乎 (zhihu.com)
- 讲得挺好的，从快速幂到矩阵快速幂，以及在求解递推式中的应用。
3、矩阵乘法结合律证明：如何把矩阵乘法结合律的证明写得简单易懂（针对初学者） - 知乎 (zhihu.com)
- 我突然疑惑矩阵乘法为什么会满足结合律，找了篇文章，还没来得及看
文章目录
- 一、我思路回顾
-
- 1、十二生肖
- 2、欢迎参加福建省大学生程序设计竞赛
- 3、匹配二元组的数量
- 4、元素交换
- 5、下棋的贝贝
- 二、补题
-
- 6、方程
- 三、小结
-
- *脱节：从实践出发，又要从基础出发
- 回顾此回顾
一、我思路回顾
1、十二生肖
思路：
此题令我有点意外，显然2024是龙年，在12生肖中排第5个，print即可。
代码：
print(5)
2、欢迎参加福建省大学生程序设计竞赛
思路：
题中说将相同题数，相同罚时的队伍归为一类，那么如果每行输入作为一个元素，问题就变成了：有多少个不同的元素。而刚好集合数据结构就具有元素不重复的特点，将所有输入数据加入集合，输出集合中元素数量即可。
在python中，输入是字符串，将它作为字典的键就可实现去重。
代码：
if __name__ == '__main__':
n = int(input())
d = {}
for i in range(n):
x = input()
if x not in d:
d[x] = 1
print(len(d))
3、匹配二元组的数量
思路：
这题想了一会儿，看到比值就想一项，但移完之后呢？
a i j = a j i \frac{a_i}{j}=\frac{a_j}{i} jai=iaj，变形一下， i a i = j a j ia_i=ja_j iai=jaj，于是可以将数组A的每一元素乘以它的下标，得新数组B，后统计B中重复元素数量。（注这里下标从1开始）
出现2次的算1一个匹配二元组，出现3次的算3个······出现x次的算组合数 C x 2 C^2_x Cx2，即 x ! 2 \frac{x!}{2} 2x!。
代码：
def f(x):
'''x的阶乘'''
r = 1
for i in range(x):
t = i + 1
r *= t
return r
if __name__ == '__main__':
n = int(input())
nums = [int(x) for x in input().split(' ')]
d = {}
for i, num in enumerate(nums):
nums[i] = (i + 1) * num
for num in nums:
if num not in d:
d[num] = 0
d[num] += 1
result = 0
for key in d:
result += f(d[key]) // 2
print(result)
4、元素交换
思路：
这题像脑筋急转弯，初看非常的手足无措。
数组中有N个0和N个1，“不存在连续的0或1”，那合规数组仅两种：1）010101...，2）101010...，于是逐项对比输入与合规数组，得不同的项的数量c，而每次交换可以把两个不同项变为相同，所以交换次数为n/2 。
那为什么，每次交换可以减少两个不同？
因为1对上0的数量，必然和0对上1的数量一样。不妨令N为5，假设合规数组中，有3个1没匹配上。那么必然有2个1匹配上了，那么输入中还剩3个1，让合规数组中的0也有3个匹配不上。
合规：0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
输入： 0 0 0 1 1
在比赛中，我经常就只能先将输入胡乱摆弄一阵，然后去猜规律，有时猜得对，有时猜得半对，有时猜得不对。在下一题，下棋的贝贝中，就是先草率地猜错了，然后又重新猜。
代码：
def jdz(x):
'''绝对值'''
return x if x >= 0 else -x
if __name__ == '__main__':
n = int(input())
nums = [int(x) for x in input().split(' ')]
# 合规数组
h1 = [0, 1] * n
h2 = [1, 0] * n
# 对比差距
c1 = sum([jdz(h1[i] - nums[i]) for i in range(len(nums))])
c2 = sum([jdz(h2[i] - nums[i]) for i in range(len(nums))])
c = min(c1, c2)
r = c // 2 # 每次交换可以减少两个不同
print(r)
5、下棋的贝贝
思路：
题意还比较清晰，在整数格子上放棋子，横竖挨着的棋子算相邻，相邻的棋子有一条边，如果边的总数为e，输出 2 ∗ e 2*e 2∗e 。
于是我开始在草稿纸上施法，期待老天爷降下神谕。很快我就觉得，这是一个类似等差的数列，之后隔两项的差都是3。然而提交之后的error告诉我，还是高兴得太早了。
于是我又猜了第二版。有的棋子放下时不增加边（1号）或只会增加一条边，如下图中带圈圈的；有的棋子放下时增加两条边，如下图中不带圈圈的。然后统计带圈圈类型的棋子数量。
设总棋子数为m，平方根向下取整为n，于是带圈圈的棋子数single_edge分两类统计：
- 一个是内侧正方形中的（如图中蓝框），数量为2n-1
- 外正方形的，会有两个临界值，当m的值超过它们时，带圈圈的棋子数加1。
如果每个棋子会产生两条边，那么总边数为 2 m 2m 2m。然后减去只产生一条边的棋子数量（因为一号棋子不产生边，可以抵两个只产生一条边的棋子），就可以得到边的总数。
为什么以上方法就是放置棋子的最佳策略（产生最多的边）？
大家可以思考一下。
代码：
import math
def method2(m):
'''边的数量'''
n = math.sqrt(m)
n = math.floor(n)
single_edge = n * 2
if m >= n**2 + 1:
single_edge += 1
if m >= n**2 + 1 + n:
single_edge += 1
r = 2 * m - single_edge
return r
if __name__ == '__main__':
m = int(input())
r = method2(m)
print(r * 2)
二、补题
6、方程
这题当时完全没有思路，希望我下次会有进步。如果还没有，就多下几次！
思路：
有两个步骤。第一步是得到递推式，但n数据范围是 [ 1 , 1 0 9 ] [1,10^9] [1,109]，逐步递推时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)太高。于是第二步用到矩阵快速幂，将复杂度降到 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。
1、得到递推式
题为 x + 1 x = k x+\frac{1}{x}=k x+x1=k，求 x n + 1 x n x^n+\frac{1}{x^n} xn+xn1的值。令 f ( n ) = x n + 1 x n f(n)=x^n+\frac{1}{x^n} f(n)=xn+xn1，则： k f ( n ) = ( x + 1 x ) ( x n + 1 x n ) = f ( n + 1 ) + f ( n − 1 ) kf(n)=(x+\frac{1}{x})(x^n+\frac{1}{x^n})=f(n+1)+f(n-1) kf(n)=(x+x1)(xn+xn1)=f(n+1)+f(n−1)。
即： f ( n + 1 ) = k f ( n ) − f ( n − 1 ) f(n+1)=kf(n)-f(n-1) f(n+1)=kf(n)−f(n−1)
又易得： f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f(0)=2， f ( 1 ) = k f(1)=k f(1)=k 。
2、矩阵快速幂
这部分参考了文首的资料1和资料2，大家也可以看一下。
a、为什么要有快速幂算法？
在求一个数的n次幂的过程中，比如 1 0 8 = 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 10^8=10*10*10*10*10*10*10*10 108=10∗10∗10∗10∗10∗10∗10∗10，需要8次乘法运算。但如果这样算： 1 0 2 = 10 ∗ 10 ， 1 0 4 = 1 0 2 ∗ 1 0 2 ， 1 0 8 = 1 0 4 ∗ 1 0 4 10^2=10*10，10^4=10^2*10^2，10^8=10^4*10^4 102=10∗10，104=102∗102，108=104∗104，只需要3次乘法，这其实是二分的思路。
也就是说，可以以 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)的时间复杂度计算数x的n次幂 x n x^n xn。
b、矩阵乘法如何计算递推式？
就以本题为例，我们发现 [ k − 1 1 0 ] [ f n − 1 f n − 2 ] = [ f n f n − 1 ] \begin{bmatrix}k & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n-2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n-1} \end{bmatrix} [k1−10][fn−1fn−2]=[fnfn−1] ，于是我们每一次矩阵乘法，就是一步递推。
但这有什么用呢，好像莫名奇妙凑出一个矩阵的形式，把简单的问题复杂化。
c、快速幂加上矩阵乘法：快速计算递推式。
令 A = [ k − 1 1 0 ] A=\begin{bmatrix}k & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} A=[k1−10] ，则： [ f n f n − 1 ] = A [ f n − 1 f n − 2 ] = A 2 [ f n − 2 f n − 3 ] = . . . = A n − 1 [ f 1 f 0 ] \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n-1} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n-2} \end{bmatrix} = A^2 \begin{bmatrix}f_{n-2}\\f_{n-3} \end{bmatrix} = ... = A^{n-1} \begin{bmatrix}f_{1}\\f_{0} \end{bmatrix} [fnfn−1]=A[fn−1fn−2]=A2[fn−2fn−3]=...=An−1[f1f0]，
看见 A A A头上的幂次了吗？将递推的时间复杂度从 O ( n ) O(n) O(n)降到 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)，我想你已经知道该怎么做了。
代码：
class Matrix:
'''封装矩阵乘法'''
MOD_NUM = 10**9 + 7
def __init__(self, value) -> None:
self.v: list = value
def mul(self, obj):
# 两个矩阵维度分别是(a,b), (b,c)
obj: Matrix = obj
a, b, c = len(self.v), len(self.v[0]), len(obj.v[0])
matrix = [[0] * c for i in range(a)] # 乘积维度：(a,c)
r = Matrix(matrix)
for i in range(a):
for j in range(c):
for k in range(b):
r.v[i][j] = (r.v[i][j] + self.v[i][k] * obj.v[k][j]) % self.MOD_NUM
return r
def mi(A: Matrix, n: int) -> Matrix:
'''求矩阵A的n次幂'''
if n == 1:
return A
if n % 2 == 1:
return mi(A, n-1).mul(A)
else:
t = mi(A, n // 2)
return t.mul(t)
def method(n, k):
'''求解一个测试用例'''
if n == 1:
return k
elif n > 1:
A = Matrix([[k, -1], [1, 0]])
F = Matrix([[k], [2]]) # f(0)=2, f(1)=k
R = mi(A, n-1).mul(F)
return R.v[0][0]
if __name__ == '__main__':
m = int(input())
for _ in range(m):
n, k = map(int, input().split(' ')) # 以前我总用列表推导式
print(method(n, k))
这次比赛强者级还有3个题，但比赛就没看，相关内容也没咋学，又考虑到时间问题，就不打算补了。
三、小结
本次比赛有小白和强者两个级别，感觉自己还比较菜，于是报了小白。后来发现小白的后3题正是强者级的头三题，这么看来，我在强者级只能写两个题？但问题不大，我对未来仍然抱有一种迷之信心。
*脱节：从实践出发，又要从基础出发
脱节问题在我们的生活中尤其严重。常有人说大学教育与社会需求脱节。然而细看我自己，又何尝不是处处脱节？就如学英语数十年，却不能说英语，学习和运用是脱节的。读英文时脑海里止步于模糊的“英式汉语”，想将心中的地道汉语用英语说出来，自然是困难的，因为缺少了一个从输入英语到地道汉语的过程。盲目期待所谓“英语思维”，于是学习方法本身便是脱节的。汉语是我们的母语，想将它一下子甩掉不太现实。
早在学校的数据结构与算法课程，弊端就已经显现。算法本身被孤立地灌输给我，要我如何能够面对问题分析问题用算法解决问题？大多的算法都只是跟着实现一遍，也大概就算是学过了。诚然，师傅领进门，修行靠个人，学习本就要靠自己的努力。可我就是缺少指导呀。（吐槽）
回看算法的学习，也应该多参加小比赛，多自己写，才能学会自己写。实践中有其独特而珍贵的经验，而且能为学习方向的调整提供指导。
然而，也常听见一个建议：在做的过程中学。但我曾理解得有些片面，于是钟爱教程而疏于理论，止于模仿而失了变通；于是遇到难题抓脑袋，有一段时间，沉陷在反复的焦虑之中。后来有一次zxl对我说，解决不了，就要想想是不是缺了基础知识，又让我一下子觉得：早该这样。
再看算法学习，总专注于比赛、刷题，而不重视系统性的理论学习，同样不合适。望自警醒。
拼命追着跑还是被匆匆拖着跑，都不太好，得一起跑。
回顾此回顾
要常回顾，以免在歧途上发足狂奔。但我目前有一个大问题，就是我太慢了，相当于在路上花费了太多的时间东张西望。此次比赛回顾，写到这句话，我已经花了8小时。比赛本身也才2小时！
这种习惯对于“常回顾”的目标，必然是极大的负担。