力扣刷题之旅：高阶篇（五）—— 网络流算法：最大流与最小割

          力扣（LeetCode）是一个在线编程平台，主要用于帮助程序员提升算法和数据结构方面的能力。以下是一些力扣上的入门题目，以及它们的解题代码。    

--点击进入刷题地址 

---

引言

        在算法领域中，网络流算法是一个重要且实用的工具，尤其在处理资源分配、运输优化等问题上表现出色。最大流和最小割是网络流算法中的两个核心概念，它们在很多实际应用中都有着广泛的使用。

一、最大流与最小割的基本概念

        在一个有向图中，如果存在一个源点s和一个汇点t，以及每条边上都有一个非负容量限制，那么这样的图就被称为一个流网络。最大流问题是在这样的流网络中寻找从源点s到汇点t可以传输的最大流量。而最小割问题则是寻找一个割集，使得割集中所有边的容量之和最小，同时确保源点s和汇点t在不同的子图中。

二、力扣上的题目

题目描述：“最大流”（Maximum Flow）

        给定一个有向图，其中每个节点表示一个地点，每条边表示两个地点之间的连接，边上的权重表示该连接的容量。请找出从源点s到汇点t的最大流量。

输入格式：

• 第一行包含四个整数n、m、s、t，分别表示节点的数量、边的数量、源点和汇点。
• 接下来m行，每行包含三个整数u、v、c，表示从节点u到节点v有一条容量为c的边。

输出格式：

• 输出一个整数，表示从源点s到汇点t的最大流量。

示例：

输入：

4 4 1 4  
1 2 1  
2 3 2  
3 4 2  
1 4 1

输出： 

2

解释：

        上述输入表示一个有向图，其中节点1是源点，节点4是汇点。从节点1到节点4的最大流量为2，可以通过两条路径实现：1→2→3→4和1→4。

三、解题代码

以下是使用Edmonds-Karp算法解决最大流问题的Python代码示例：

from queue import Queue  
  
def edmonds_karp(graph, source, sink):  
    # 初始化剩余容量和流量  
    residual_graph = {u: {v: c for v, c in graph[u].items()} for u in graph}  
    flow = {u: 0 for u in graph}  
      
    # BFS寻找增广路径  
    def bfs():  
        visited = {u: False for u in graph}  
        parent = {u: None for u in graph}  
        path_flow = {u: 0 for u in graph}  
          
        queue = Queue()  
        queue.put(source)  
        visited[source] = True  
        path_flow[source] = float('inf')  
          
        while not queue.empty():  
            u = queue.get()  
              
            for v, c in residual_graph[u].items():  
                if c > 0 and not visited[v]:  
                    visited[v] = True  
                    parent[v] = u  
                    path_flow[v] = min(path_flow[u], c)  
                      
                    if v == sink:  
                        return parent, path_flow  
                      
                    queue.put(v)  
          
        return None, None  
      
    # 更新流量和剩余容量  
    def update_flow(parent, path_flow):  
        u = sink  
        while u != source:  
            v = parent[u]  
            residual_graph[v][u] += path_flow[sink]  
            residual_graph[u][v] -= path_flow[sink]  
            flow[v] += path_flow[sink]  
            u = v  
      
    # 主循环  
    while True:  
        parent, path_flow = bfs()  
        if parent is None:  
            break  
          
        update_flow(parent, path_flow)  
      
    return flow[sink]  
  
# 示例输入与输出  
if __name__ == "__main__":  
    n, m, source, sink = map(int, input().split())  
    graph = {u: {} for u in range(1, n+1)}  
    for _ in range(m):  
        u, v, c = map(int, input().split())  
        graph[u][v] = c  
      
    print(edmonds_karp(graph, source, sink))

---

四、算法分析

        Edmonds-Karp算法是基于增广路径的最大流算法。它使用BFS来寻找从源点到汇点的增广路径，并沿着该路径更新流量和剩余容量。算法的时间复杂度为O(V*E^2)，其中V是节点的数量，E是边的数量。虽然这个算法不是最高效的，但它的实现相对简单，适合用于理解最大流问题的基本概念。

---

五、总结

        通过解决最大流问题，我们学习了网络流算法中的基本概念和算法实现。最大流算法在多个领域都有广泛的应用，可以帮助我们优化资源分配和运输路线。在力扣上刷题的过程中，我们不仅提高了自己的编程能力，还深入理解了网络流算法的原理和应用。