“约瑟夫环”问题的四种方法及详解注释（c++实现）

Ⅰ.故事背景

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。 [1] 

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

Ⅱ.问题描述

算法举例抽象为：已知 n 个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。第一个人开始报数，数到 k 的那个人出圈；他的下一个人又从 1 开始报数，数到 k 的那个人又出圈；依此规律重复下去，直到剩余最后一个胜利者。

(图片以n=10，k=3为例）

Ⅲ.代码实现

一.数组

#include
#include

二.递归方法

（图片来自b站麦克老师）

#include
using namespace std;
int ysf(int n, int k, int i)//本函数是index=0开始(上图有）
{
	if (i == 1)
		return (n+k-1) % n;
	if (i != 1)
		return (ysf(n - 1, k, i - 1) + k) % n;//即为去掉前面的人构成的新环的第i-1次
}
int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << ysf(n, k, i)+1 << " ";//加1统一index=1开始
	}
}

三.循环链表

#include
#include
using namespace std;
typedef struct node
{
	int data;
	struct node* next;
}Node;
int n, k;
void Joseph_ring(int n, int k)
{
	//开始创建循环链表
	Node* head = NULL, * p = NULL, * r = NULL;//搞三个指针
	head = (Node*)malloc(sizeof(Node));//为head头指针申请一片空间((Node*)为强制类型转换为结构体变量指针）
	head->data = 1;
	head->next = NULL;
	p = head;//创建循环链表用，此时p和head指向头结点
	for (int i = 2; i <= n; i++)//创建剩下的n-1个结点(尾插法顺序插入）
	{
		r = (Node*)malloc(sizeof(Node));
		r->data = i;
		r->next = NULL;
		p->next = r;
		p = r;
	}
	p->next = head;//首尾相接
	p = head;//恢复初始状态
	while (p->next != p)//结束条件是只剩下最后一个（当然用cnt计数也可以）
	{
		for (int i = 1; i < k; i++)
		{
			r = p;//用r保存该删结点的上一个结点
			p = p->next;
		}
		//循环结束后p指针的位置是该删结点的位置
		cout << p->data << " ";
		r->next = p->next;
		p = p->next;
	}
	//whlie循环结束后还剩最后一个结点要输出
	cout << p->data;
}
int main()
{
	cin >> n >> k;
	Joseph_ring(n,k);
	return 0;
}

四.队列

#include
#include
using namespace std;
queue res;
int n, k;
int main()
{
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		res.push(i);
	}
	int cnt = 0;
	while (!res.empty())
	{
		for (int i = 1; i <= k - 1; i++)//执行k-1次
		{
			res.push(res.front());//将队首元素放队尾去
			res.pop();
		}
		//循环结束后输出队首元素
		cout << res.front() << " ";
		res.pop();//拖出去斩了
	}
	return 0;
}