2021-11-18-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P004 例1）
已知复数,,且,试求实数的值.
分析与解
由知,、均为实数,即有,
解得.
因为,所以,即.而适合.故所求.
注解题的突破口在于发现“、均为实数”这一隐含条件.
2021-11-18-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P004 例2）
已知是纯虚数,求复数在复平面内对应点轨迹的方程.
分析与解
设,则
因为为是纯虚数,所以,即复数在复平面内对应点的轨迹是圆(除去两点),轨迹方程是.
注初学复数的读者要千万留心:纯虚数不仅是实部等于0,还要求虚部不等于0.
2021-11-18-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P005 例3）
已知非零复数、、满,试求的一切可能值.
分析与解
设,则,,,也就有,,.因为,所以有,解得或.
所以.
若,则原式;
若,则原式;
若,则原式.
综上所述,的一切可能值为1、和.
注连等式设是常用的解题技巧.
2021-11-18-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P005 例4）
已知 ,关于的一元二次方程有实根,求使复数的模取得最小值的复数.
分析与解
设出复数的代数形式,利用方程的实根将实部,虚部分离.
设已知方程的实根为,并记,则有,
即
.
于是,有
,(1)
.(2)
因为时,方程(2)无解,所以.
由(2)有,代入(1)式,得,解得
.(3)
于是.
当且仅当,也即时,上式中的等号成立.
此时,对应的.
由(3)式可知、同号,从而所求的复数.