代码随想录算法训练营第45天（动态规划07 ● 70. 爬楼梯 （进阶） ● 322. 零钱兑换 ● 279.完全平方数

70. 爬楼梯 （进阶）

这道题目 爬楼梯之前我们做过，这次再用完全背包的思路来分析一遍
文章讲解： 70. 爬楼梯 （进阶）

解题思路

我们之前做的 爬楼梯 是只能至多爬两个台阶。
这次改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
这又有难度了，这其实是一个完全背包问题。
1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
和题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ基本就是一道题了。

import java.util.Scanner;
class climbStairs{
    public static void main(String [] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m, n;
        while (sc.hasNextInt()) {
            // 从键盘输入参数，中间用空格隔开
            n = sc.nextInt();
            m = sc.nextInt();

            // 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[0] = 1;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                for (int i = 1; i <= m; i++) {
                    if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
                }
            }
            System.out.println(dp[n]);
        }
    }
}

总结

本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！
如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。
顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。
这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。
这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。
本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！

322. 零钱兑换

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
这句话结合本题 大家要好好理解。
题目链接： 322. 零钱兑换
视频讲解： 322. 零钱兑换
文章讲解： 322. 零钱兑换

解题思路

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题
动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
2. 确定递推公式
   递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
3. dp数组如何初始化
   首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
   考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
   所以下标非0的元素都是应该是最大值。
4. 确定遍历顺序
   本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
   所以本题并不强调集合是组合还是排列。
5. 举例推导dp数组

总结

动态规划：518.零钱兑换II 中求的是组合数，动态规划：377. 组合总和 Ⅳ 中求的是排列数。
而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

// 动态规划 完全背包
class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for(int j = 0; j < dp.length; j++){
            dp[j] = max;
        }
        // 当金额为0时需要的硬币数目为0
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < coins.length; i++){
            //正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                if(dp[j - coins[i]] != max){
                    // 选择硬币数目最小的情况
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}

279.完全平方数

本题 和 322. 零钱兑换 基本是一样的，大家先自己尝试做一做
题目链接： 279.完全平方数
视频讲解： 279.完全平方数
文章讲解： 279.完全平方数

解题思路

和昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换 是一样一样的！

class Solution {
    // 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
	//如果不想要寫for-loop填充數組的話，也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
	//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
	
        //当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历物品
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                //if (dp[j - i * i] != max) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                //}
		//不需要這個if statement，因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生（ 一定可以用"1"來組成任何一個n），故comment掉這個if statement。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}