最小生成树详解(Prim算法/Kruskal算法)

最小生成树

⭐今天为大家带来的是最小生成树算法

⭐在学习之前首先要搞清楚什么是最小生成树？ 给定一张边带权的无向图G=(V,E)，其中V表示途中点的集合，E表示途中边的集合，=|V|，m=|E|。由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的以可生成树，其中边的权重之和最小被称为无向图G的最小生成树。所以最小生成树是用来计算最小边权问题。

⭐最小生成树最常用的有两种算法：Prim算法（解决稠密图）和Kruskal（解决稀疏图）算法，下面我来一一介绍：

⭐Prim算法思想：首先有创建一个集合，逐个点找到该点离集合最近的一条边，将边权更新的答案中，并且将该点加入集合当中。 基本操作：首先开个dist[N]数组来存储每个点到集合的最短距离，开个bool类型数组st[N]判断某点是否已经在集合内，逐点更新答案，最后返回最小生成树的权。

看到这里你是不是会想到这跟之前学习的哪种算法很像啊？没错，就是Dijkstra算法，博主在前面的文章中也有讲到哦~

链接：Dijkstra算法

但是需要注意的是这里的dist数组是用来存储某个点离集合的最小距离，而Dijkstra算法中是用来存储某个点到源点的距离，这里要分清哦~

prim代码如下：

#include
using namespace std;

const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int n,m;

int prim()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))
                t=j;
        if(i!=0&&dist[t]==INF)return INF;
        if(i!=0)ans+=dist[t];
        st[t]=true;
        for(int j=1;j<=n;j++)dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    memset(g,0x3f,sizeof g);

    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);
    }
    int t=prim();

    if(t==INF)puts("impossible");
    else printf("%d\n",t);
    return 0;
}

下面接着介绍Kruskal算法

⭐Kruskal算法比较思路比较简单，而且代码也没prim算法那么复杂。算法思想：1.将所有的边按权从小到大排序 2.枚举每条边，例如权重是w，如果ab不连通就将这条边加入到集合当中。

基本操作：首先开个结构体存边的权c，结构体排序，然后用查并集的知识判断是否连通，如果不连通就加入到集合当中并且将边权w更新到答案当中。

代码模板如下：

#include
using namespace std;

const int N = 100010;

int n,m;
int p[N];
int cnt;
int ans;

struct Edge
{
    int a,b,w;

    bool operator<(const Edge &W)const
    {
        return w<W.w;
    }

}edges[N];

int find(int x)
{
    if(p[x]!=x)p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edges[i]={a,b,w};
    }
    sort(edges,edges+n);

    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;

    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a=edges[i].a,b=edges[i].b,w=edges[i].w;

        a=find(a),b=find(b);
        if(a!=b)
        {
            p[a]=b;
            ans+=w;
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt<n-1)puts("impossible");
    else printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

例题

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和v之间存在一条边权值为w的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树则输出一个整数，表示最小生成树最小边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围
1≤n≤500.
1≤m≤10^5.

输入样例
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例
6

这道例题用上面两种算法模板都可以实现，大家快动手实践一下吧!!!