动态DP入门&线性动态DP

前言

OI-WiKi上有一个动态DP讲解，直接讲到了树型DP领域，同时需要树链剖分，门槛有点高。本文针对线性DP做一个动态DP的讲解。

首先当然要懂得一定的DP的相关知识，然后需要知道DP方程的矩阵表达。可以看这里——根据递推公式构造系数矩阵用于快速幂。很多DP的状态转移方程都可以写成矩阵形式，由此就有了矩阵快速幂优化和动态DP的基础。特别是本文专门举例的线性DP。

核心思想

常规的DP方程一般形如：

$$D_i=f(D_{i-1})$$

即$D_i$是$D_{i-1}$的某个函数。与矩阵快速幂优化类似，想办法将DP方程改为：
$$\left[\begin{array}{c}{D}_i\\ 0或1\end{array}\right]=M_i\times \left[\begin{array}{c}{D}_{i-1}\\ 0或1\end{array}\right]$$

其中$M_i$表示$i$位置的系数矩阵。这里用到了矩阵乘法，不过不一定是乘法，只是类乘操作而已，即满足某种性质的操作。令上述包含$D_i$的向量记为$X_i$，则方程改为
$$X_i=\prod _{j=1}^i{M}_j\times X_0$$

于是求$X_i$转化为区间矩阵求积的操作，这个区间操作可以使用线段树维护。同时很自然的也就支持了修改操作。

例1

首先看一个完全不需要动态DP的例子。给定一个数组，单点修改，区间求和。

规划方程: $D_i=A_i+D_{i-1}$

写成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}{D}_i\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& A_i\\ 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{D}_{i-1}\\ 1\end{array}\right]$$

因此第$i$个系数矩阵就是

$$\left[\begin{array}{cc}1& A_i\\ 0& 1\end{array}\right]$$

而且此处用的就是正常的矩阵乘法。用线段树可以轻松维护其区间积与单点修改操作（修改某个点$A_i$，就是修改第$i$个系数矩阵）。对于区间查询$[l,r]$，只需要计算:
$$ans=\left(\prod _{i=l}^r\left[\begin{array}{cc}1& A_i\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$
即可，$ans[1]$即答案。
当然，如果进一步推敲的话，可以发现这个线段树本质上就是维护的$A_i$的和。这是一个实现上毫无必要的、但很好的仅供学习的例子，如果后面的例子有难度的话。

例2

再看一个复杂一点点的例子。给定一个数组，查询区间最大子段和，单点修改。首先这个问题仍然可以直接使用线段树解决。其次，来看看动态DP的做法。

令$U_i$是以$i$结尾的最大子段和，$V_i$是$[1,i]$区间的最大子段和，则规划方程是：

$$\begin{gathered} U_i=\max (A_i,A_i+U_{i-1}) \\ {V}_i=\max (U_i,V_{i-1}) \end{gathered}$$

首先修改其中一个DP方程为：$V_i=\max (A_i,A_i+U_{i-1},V_{i-1})$

然后写成矩阵形式：
[ U i V i 0 ] = [ A i − ∞ A i A i 0 A i − ∞ − ∞ 0 ] × [ U i − 1 V i − 1 0 ] \begin{bmatrix} U_i \\ V_i \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_i & -\infty & A_i \\ A_i & 0 & A_i \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} U_{i-1} \\ V_{i-1} \\ 0 \end{bmatrix} ​Ui​Vi​0​ ​= ​Ai​Ai​−∞​−∞0−∞​Ai​Ai​0​ ​× ​Ui−1​Vi−1​0​ ​

这里的$\times$表示矩阵的类乘操作或者说是矩阵的广义乘法操作，定义如下：令矩阵$C=A\times B$，则
$$C_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{3}{\max }}(A_{i,k}+B_{k,j})$$

写成单行、单列的形式即：

[ a 1 a 2 a 3 ] × [ b 1 b 2 b 3 ] = max ⁡ ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 ) \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}=\max{(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)} [a1​​a2​​a3​​]× ​b1​b2​b3​​ ​=max(a1​+b1​,a2​+b2​,a3​+b3​)

因此
[ A i − ∞ A i A i 0 A i − ∞ − ∞ 0 ] \begin{bmatrix} A_i & -\infty & A_i \\ A_i & 0 & A_i \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix} ​Ai​Ai​−∞​−∞0−∞​Ai​Ai​0​ ​
就是第$i$个矩阵，一共要维护$N$个矩阵。修改操作也很容易维护，改变$A_i$就是改变第$i$个矩阵。区间查询操作$[l,r]$，就是计算：

a n s = ( ∏ i = l r [ A i − ∞ A i A i 0 A i − ∞ − ∞ 0 ] ) × [ − ∞ − ∞ 0 ] ans=\big(\prod_{i=l}^{r}\begin{bmatrix} A_i & -\infty & A_i \\ A_i & 0 & A_i \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix}\big)\times\begin{bmatrix} -\infty \\ -\infty \\ 0 \end{bmatrix} ans=(i=l∏r​ ​Ai​Ai​−∞​−∞0−∞​Ai​Ai​0​ ​)× ​−∞−∞0​ ​

$ans[1]$就是答案，因为$ans[1]$对应了规划目标$V$。

2024牛客寒假4K

同样，这个题目可以不用动态DP，直接用线段树维护相关信息即可。

题目大意：给定一个字符串仅包含YBR，表示命令。初始位于0位置且右边无边界限制。命令执行如下：

1. Y指令表示在当前位置添加一个块；
2. B指令表示先右移一格到达一个新位置，再在这个新位置添加一个块；
3. R指令表示先将当前位置的块倍增一下，再添加一个块（假设当前位置本来有3块，则该指令过后变成7块）。

还有$Q$个操作，一共分两类：

1. p c: 将第p个位置的命令改为c；
2. s e: 从零开始，依次执行$[s,e]$区间的命令，问最后的块数。

对每个操作2，输出答案。

令$D_i$是第$i$个操作后当前位置的块数（注意，不一定是第$i$个位置，因为一个命令不一定新增一个位置，不过这个并没有影响）。令$S_i$是第$i$个操作后总块数。令动态规划的列向量是:
[ D i S i 1 ] \begin{bmatrix} D_{i} \\ S_{i} \\ 1 \end{bmatrix} ​Di​Si​1​ ​简单推理一下就可以得到YBR三个命令分别对应的三个系数矩阵是：
[ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ] , [ 0 0 1 0 1 1 0 0 1 ] , [ 2 0 1 1 1 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ​100​010​111​ ​, ​000​010​111​ ​, ​210​010​111​ ​

因此可以得到一个矩阵的数组，维护这个矩阵数组的区间积就行，支持单点修改。这里用到的就是正经的矩阵乘法。当然这里会注意到系数矩阵连乘展开以后，其实是倒序的。前面的两个例子之所以没有这个问题，是因为例1中的矩阵形式比较特殊，因此支持乘法的交换律。而例2中的操作本身就支持交换律。所以那个两个例子都可以直接按顺序维护。这个例子则是正经的矩阵乘法，不支持交换律。因此倒过来维护即可。

2022牛客寒假2J

题目大意：有三种魔法球、十种技能，每种技能都是三种魔法球的组合（可重复）。现在需要连续释放技能，但是手中只能持有三个魔法球，且必须按照队列性质。
例如需要连续释放技能1和2，则首先持有三个魔法球，记作
a1 a2 a3
释放技能1。随后，如果a1a2a3不是技能2的组合，则必须先拿掉a1, 追加a4（可以自由选择追加的魔法球）。
此时手中持有变为了：a2a3a4
如果能满足施法，即可完成。
否则必须扔掉a2，追加a5。
还不行的话就扔掉a3，追加a6。此时必然可以释放技能2。

手中持有必须按顺序，但是技能构成无需按顺序。
例如假设输入给定技能1的构成是a3a2a1，则手中持有a1a2a3一样可以释放技能1

现在给定N个技能的序列，两种操作：

1. s e: 问连续释放[s, e]区间内的技能，最少需要依次拿几个魔法球，每次施法之初手中都是空的
2. p x: 将第p个位置的技能修改为x

首先释放第一个技能必须拿3个球，然后考虑后续。
从技能a到技能b，需要追加的球的数量显然与a魔法球以及b魔法球的排列有关。
一个技能最多可能存在6种不同的排列。
因此令 $D_{i,j,u,v}$ 记录技能$i$的排列$u$后面跟技能$j$的排列$v$时需要改变的魔法球的数量。
所以D是一个$10\times 10\times 6\times 6$的四维数组，可以预处理出来。

再考虑一段连续的释放，首先考虑$[\mathrm{1...}n]$，令$Z_{nu}$表示从1释放到$n$的最少数量，且以$n$的$u$排列结尾。
则：
$$Z_{nu}=\min \{Z_{n-1,v}+D_{n-1,n,v,u},v是n-1的所有排列状态\}$$
则 $\min \{Z_{nu},u是n的所有排列\}$为所求。
将$Z_n$看作是列向量，将$D_{ij}$看做是矩阵，可以将规划方程写成矩阵形式
$$Z_n=D_{n-1,n}\times Z_{n-1}$$

同样，这里是用的是类乘操作，与例2中类似，只不过这里取的是最小值。同时注意到这个操作是支持交换律的，因此按正序维护即可。

题目给定了$N$个技能，则一共需要$N-1$次转换，因此维护$N-1$个矩阵即可。

结论

感觉上线性动态DP是不需要的，因为似乎可以直接设计线段树，维护相关信息完成。不过从线性DP入手动态DP，不失为一个好的学习路线。另一方面，动态DP可以提供一个统一的模板，构思简单，实现高度一致，在常数时间充足的情况下，值得一试。