「算法」二分查找：一道题带你领悟二分查找的精髓！

个人主页：Ice_Sugar_7
所属专栏：算法详解
欢迎点赞收藏加关注哦！

直接上题：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

确定左端点

我们记左、右指针为 left 和 right，中点为 mid，左端点为 target
划分区间：target 左边为一个区间，target 和 target 右边为另一个区间。这样左区间就都小于 target，右区间就都是大于或等于 target

调整 left 和 right

每次循环就是求出中点处的值 x，让 x 和 target 比较

• 如果 x < target，那我们就要调整 left，让 left = mid + 1
• 而如果是 x >= target，注意，这里把相等的情况也包括进来了，因为当中点值和 target 相等时，不一定是在左端点，所以都要移动 right
  right 的移动也很讲究，不能让 right = mid - 1，因为如果 mid 刚好就在 target 处，那 right 就会走到左区间了。所以要让 right = mid
  

细节处理

1. 求中点的位置

在上篇文章中，我们讲了两个求中点的公式，分别可求左、右中点（当元素个数为偶数时）

我们以区间内只剩下 left 和 right 这两个元素的情况来分析（在下文分析循环终止条件时，我们可以推出最后一次循环时只剩下两个元素）

如果 mid 为右中点，并且中点值大于或等于 target，那就会死循环

所以我们要用求左中点的公式：mid = left + (right - left) / 2

---

2. 循环结束条件
   当 left >= right 时，就可以跳出循环了，注意 left == right 时不能进入循环

下面解释一下原因：

①如果[left,right]之间有 target，就是下图的情况：

根据上面对 left 和 right 移动路径的分析，我们可以知道：right 只能在右区间内移动，无法走到左区间；而 left 就不一样了，如果 left 已经走到左区间最后一个位置，那么它最终刚好可以到 target 的位置（因为 left = mid + 1，mid 会和 left 重合，left + 1后就到 target 处）

也就是说，left 和 right 最终相遇的地方就在 target 处，此时没必要进循环了

②如果[left,right]中的值全都比 target 大，这种情况下 right 就会不断往左走，直到和最左端的 left 相遇；反之，若全比 target 小，则 left 会一直走到 right 处

如果在 left == right 时还进入循环，并且 x >= target，那又会死循环了（因为 right 一直等于 mid）
所以正确的做法是：不进循环，判断 nums[mid] 是否等于 target，如果不相等那就说明数组中没有这个数

---

确定右端点

解决左端点之后，右端点也就很好处理了，现在的图示如下：

调整 left 和 right

• 如果 x <= target，就让 left = mid
• 如果 x > target，则要让 right = mid-1

细节处理

• 求中点的位置
  仿照上面的分析方式，可以推出要用求右中点的公式：mid = left + (right - left+1) / 2

其实什么时候要用哪个中点公式不用死记硬背，分析 mid 分别落在两个区间时 left 和 right 需要如何移动之后，放在最后一次循环中分析，看 mid 在哪个中点的时候可能会死循环，就可以推出要用哪个公式了

---

这道题代码如下：

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int left = 0,right = nums.length - 1;
        int[] ret = new int[2];
        ret[0] = ret[1] = -1;
        if(nums.length == 0) return ret;  //排除数组中没有元素的情况
        
        //查找左端点
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else if(nums[mid] >= target) right = mid;
        }
        if(nums[left] == target) ret[0] = left;
        else return ret;
        
        right = nums.length - 1;  //查找右端点前先重置一下 right 的下标，left 可以不用重置
        //查找右端点
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left +1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) left = mid;
            else if(nums[mid] > target) right = mid - 1;
        }
        ret[1] = left;
        return ret;
    }
}

模板

由这道题的代码，我们可以总结出以下两个模板：

这两个模板分别是查找某个区间左端点和右端点的，要记忆的话，只需记住 mid 的公式：求左端点时就用左中点公式；反之则用右中点公式
下面的 left 和 right 根据题目分析即可