备战蓝桥杯---图论之最短路Bellman-Ford算法及优化

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上次我们讲到复杂度为（n+m)logm(m为边，n为点）的迪杰斯特拉算法，其中有一个明显的不足就是它无法解决包含负权边的图。

于是我们引进Bellman-Ford算法。

核心：枚举所有的点，能松弛就松弛，直到所有点都不能松弛。

具体过程：

我们在外循环循环n-1(n为点数），然后在内循环上枚举所有的边，能松弛就松弛。

到这里，肯定有许多人对它正确性怀疑，其实，我们可以知道，在外循环循环k轮后，k步以内可以到的点的值<=从源点在k步以内能走到的最优解（有点类似广搜）。

具体来说，当k=2时，2步以内可以到的点的值<=2步内从源点走到该点的最小距离。（<=的原因在于枚举边的时候可能会被刚刚更新的点在被更新一遍）

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上次我们讲到复杂度为（n+m)logm(m为边，n为点）的迪杰斯特拉算法，其中有一个明显的不足就是它无法解决包含负权边的图。

于是我们引进Bellman-Ford算法。

核心：枚举所有的点，能松弛就松弛，直到所有点都不能松弛。

具体过程：

我们在外循环循环n-1(n为点数），然后在内循环上枚举所有的边，能松弛就松弛。

到这里，肯定有许多人对它正确性怀疑，其实，我们可以知道，在外循环循环k轮后，k步以内可以到的点的值<=从源点在k步以内能走到的最优解（有点类似广搜）。

具体来说，当k=2时，2步以内可以到的点的值<=2步内从源点走到该点的最小距离。（<=的原因在于枚举边的时候可能会被刚刚更新的点在被更新一遍）

因此，在n-1轮后，因为每一个点最多被走一次（除非是负环，等下讨论），因此，利用上述结论，我们可以得出在外循环循环n-1轮后，所有的点的值为从源点出发走到的最优解。

下面我们讨论一下负环，其实，如果出现负环，最短路就应该为负无穷，我们为了判断负环，只要比较更新次数有无<=n-1即可。

因为这过于暴力，复杂度为o(n*m),基本一用就寄，于是我们考虑一下优化

我们不妨思考一个问题（这也是优化的关键）

一个点在什么情况下可以优化？

显然，只有到它的前一个点它的值优化改变后，那个点才可能被优化。因为边权是不变的，而前一个点它的值无法被优化时，dis[a]=map[a][b]+dis[b]，相当于dis[b]不变，那么dis[a]肯定也不变。

在知道这个后，我们让dis[源点]=0,其他为极大值。

我们对于边的枚举，只要枚举上一次被更新的点的边就可以了。

我们用队列实现（即SPFA算法，复杂度为o(k*m）(k为每一个点入队的平均次数）

还是这一题，我们用这个方法实现一下。

下面是AC代码：

#include
using namespace std;
struct node{
    int zhi;
    int dian;
    int next;
}edge[20010];
int dis[1010],head[1010],cnt,n,m1,s,t,x,y,v;
bool vis[1010];
struct ty{
    int dian,dis1;
    bool operator<(const ty &a) const{
        return dis1>a.dis1;
    }
};
void merge(int x,int y,int v){
    edge[++cnt].zhi=v;
    edge[cnt].dian=y;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
priority_queue q;
queue q1;
int dij(int s,int t){
    q.push({s,0});
    while(!q.empty()){
        ty ck=q.top();
          q.pop();
        if(vis[ck.dian]==1) continue;
        vis[ck.dian]=1;
        for(int i=head[ck.dian];i!=-1;i=edge[i].next){
            int i1=edge[i].dian;
            if(vis[i1]==1) continue;
            if(dis[i1]>dis[ck.dian]+edge[i].zhi){
                dis[i1]=dis[ck.dian]+edge[i].zhi;
                 q.push({i1,dis[i1]});
            }
        }
    }
    if(dis[t]>=0x3f3f3f3f) return -1;
    else return dis[t];
}
int spfa(int s,int t){
    q1.push(s);
    while(!q1.empty()){
        int hh=q1.front();
        vis[hh]=0;
        q1.pop();
        for(int i=head[hh];i!=-1;i=edge[i].next){
            int i1=edge[i].dian;
            if(dis[i1]>dis[hh]+edge[i].zhi){
                dis[i1]=dis[hh]+edge[i].zhi;
                if(vis[i1]==0){
                    vis[i1]=1;
                    q1.push(i1);
                }
            }
    }
        
        }
    if(dis[t]>=0x3f3f3f3f) return -1;
    else return dis[t];
}
int main(){
    cin>>n>>m1>>s>>t;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=m1;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
        merge(x,y,v);
        merge(y,x,v);
    }
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    cout<