暴力枚举刷题1

题目来源：统计方形（数据加强版） - 洛谷

参考书籍：《深入浅出程序设计竞赛（基础篇）》

解题思路：这道理适合用暴力枚举求解。我把书上提到的四种枚举方法分享给大家。

解题1：减少枚举量

以某个坐标为顶点，统计其正方形和长方形。

#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
	LL n, m,squ = 0,rec = 0;
	cin >> n >> m;
	for (LL x = 0; x <= n; x++)
	{
		for (LL y = 0; y <= m; y++)
		{
			LL tmp = min(x, y) + min(y, n - x) + min(n - x, m - y) + min(m - y, x);
			squ += tmp;
			rec += n * m - tmp; //长方形
		}
	}
	printf("%lld %lld", squ / 4, rec / 4);
	return 0;
}

解题2 ：去掉重复情况，只枚举方形的右下角顶点。

#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
	LL n, m, squ = 0, rec = 0;
	cin >> n >> m;
	for (LL x = 0; x <= n; x++)
	{
		for (LL y = 0; y <= m; y++)
		{
			LL tmp = min(x, y);
			squ += tmp;
			rec += x * y - tmp; //长方形
		}
	}
	printf("%lld %lld", squ , rec);
	return 0;
}

解题3：枚举其他要素。枚举方形的边长，其实就是统计n ✖m的大矩形中包含多少个边长为a ✖b的小矩形。答案：(n - a + 1) *(m - b +1)

#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;



int main()
{
	LL n, m, squ = 0, rec = 0;
	cin >> n >> m;
	for (LL x = 1; x <= n; x++)
	{
		for (LL y = 1; y <= m; y++)
		{
			if (x == y)
			{
				squ += (n - x + 1) * (m - y + 1);//正方形
			}
			else
			{
				rec += (n - x + 1) * (m - y + 1);//长方形
			}
		}
	}
	printf("%lld %lld", squ, rec);
	return 0;
}

解题 4 ：减少枚举量

在这个问题中，我们需要确定一个 n ✖m 方格的矩形包含多少个正方形和长方形（不包含正方形）。为了计算这个，我们可以用以下方法：

1. 计算正方形的数量：

   • 对于一个 n ✖m 的矩形，最小的正方形是 1×1 的方格，然后是 2×2，直到 min(n,m)×min(n,m)。
   • 所以，1×1 的正方形有 n×m 个。
   • 2×2 的正方形有 (n−1)×(m−1) 个，以此类推。
   • 总正方形的数量是

    2  .计算长方形的数量：

       在一个 n×m 的矩形上，计算所有可能的长方形（包括正方形）的数量，可以通过计算所有可能的顶点对来完成。每个长方形由其对角线上的两个顶点唯一确定。要形成一个长方形，我们需要选择两个不同的水平坐标和两个不同的垂直坐标。

1. 选择水平坐标：在长度为 n 的矩形，有 n+1 个水平的格线。从这n+1 个格线中选择两个不同的格线作为长方形的上下边界，可以有 C(n+1,2) 种选择方法，这是因为顶点对的选择是组合而不是排列（顺序不重要）。

2. 选择垂直坐标：同理，在宽度为 m 的矩形，有m+1 个垂直的格线。选择两个不同的垂直格线作为长方形的左右边界，可以有 C(m+1,2) 种选择方法。

3. 计算组合：要形成一个长方形，我们需要同时选择水平和垂直坐标，所以这两种选择的组合数是乘积形式的：C(n+1,2)×C(m+1,2)。

4. 化简组合公式：组合公式 C(x,2)=x(x−1)​ /2可以应用于这两个选择，所以总的可能的长方形数量是：

#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
	LL n, m, squ = 0, rec = 0;
	cin >> n >> m;
	for (LL x = 1; x <= min(n,m); x++)
	{
		squ += (n - x + 1) * (m - x + 1) ;//正方形					
	}
	rec  = n * m* (n + 1) * (m+ 1) /4 - squ ;//长方形
	printf("%lld %lld", squ, rec);
	return 0;
}