算法——组合数学——二项式定理

• 
• 杨辉三角是二项式系数的典型应用
• 
• 当 n 较大，且需要取模时，二项式系数有两种计算方法：
  • 一：递推公式，
  • 二：逆

方法一：用递推公式计算二项式系数

public class BinomialCoefficient {
    public static int calculate(int n, int k) {
        if (k > n) {
            return 0; // 如果 k 大于 n，则二项式系数为 0
        }

        int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= Math.min(i, k); j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    dp[i][j] = 1; // 当 j 为 0 或者 j 和 i 相等时，二项式系数为 1
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; // 使用递推公式计算二项式系数
                }
            }
        }

        return dp[n][k];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        int k = 2;
        int coefficient = calculate(n, k);
        System.out.println("Binomial Coefficient C(" + n + ", " + k + ") = " + coefficient);
    }
}

 方法二：用逆计算二项式系数

public class InverseBinomialCoefficient {
    public static int calculate(int coefficient, int n) {
        for (int k = 0; k <= n; k++) {
            if (binomialCoefficient(n, k) == coefficient) {
                return k; // 找到与给定系数相符的 k 值，返回结果
            }
        }
        return -1; // 如果没有找到匹配的 k 值，返回 -1 表示未找到
    }

    // 计算二项式系数的方法，与前面提到的计算方法类似
    public static int binomialCoefficient(int n, int k) {
        if (k > n) {
            return 0;
        }

        int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= Math.min(i, k); j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        return dp[n][k];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int coefficient = 10;
        int n = 5;
        int k = calculate(coefficient, n);
        
        if (k != -1) {
            System.out.println("For binomial coefficient C(" + n + ", x) = " + coefficient + ", x = " + k);
        } else {
            System.out.println("No matching value of k found for coefficient " + coefficient);
        }
    }
}

一、试题 算法训练 组合数取模

 分析：

• 组合数简单理解为从装有 n 个不同球的盒子里抽 m 个球，有多少种情况（顺序不要求）
• 使用递推公式计算，
• 套用代码，再取余
• 特殊情况：

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n=scanner.nextInt();
        int m=scanner.nextInt();
        int p=scanner.nextInt();
        int coefficient=calculate(n,m,p);
        System.out.println(coefficient);
 
    }
    public static int calculate(int n, int m,int p) {
        if (m > n) {
            return 0; // 如果 m 大于 n，则二项式系数为 0
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= Math.min(i, m); j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    dp[i][j] = 1; // 当 j 为 0 或者 j 和 i 相等时，二项式系数为 1
                } else {
                    dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j])%p; // 使用递推公式计算二项式系数
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
}