基于熵权法对Topsis模型的修正
基于熵权法对Topsis模型的修正
有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵，可以使用层次分析法给这m个评价指标确定权重
∑ j = 1 m ω j = 1 \sum_{j=1}^m{\omega_j}=1 j=1∑mωj=1
层次分析法最大的缺点：判断矩阵的确定依赖于专家，如果专家的判断存在主观性的话，会对结果产生很大的影响。（主观性太强）
熵权法是一种客观赋权方法
依据的原理： 指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（客观= 数据本身就可以告诉我们权重）
变异程度=方差/标准差
（一种极端的例子：对于所有的样本而言，这个指标都是相同的数值，那么我们可认为这个指标的权值为0，即这个指标对于我们的评价起不到任何帮助）
如何度量信息量的大小
越有可能发生的事情，信息量越少，越不可能发生的事情，信息量就越多。
怎么衡量事情发生的可能性大小？概率
如果把信息量用字母I表示，概率用p表示，那么我们可以将它们建立一个函数关系：
假设x表示事件X可能发生的某种情况，p(x)表示这种情况发生的概率
我们可以定义：
I ( x ) = − l n ( p ( x ) ) 0 ⩽ p ( X ) ⩽ 1 I ( X ) ⩾ 0 I(x)=-ln(p(x))\\ 0 \leqslant p(X) \leqslant1\\ I(X)\geqslant0 I(x)=−ln(p(x))0⩽p(X)⩽1I(X)⩾0
如果事件X可能发生的情况分别为：x1,x2,…,xn
那么我们可以定义事件X 的信息熵为
H ( X ) = ∑ i = 1 n [ p ( x i ) I ( x i ) ] = − ∑ i = 1 n [ p ( x i ) l n ( p ( x i ) ) ] H(X)=\sum_{i=1}^n{[p(x_i)I(x_i)]=-\sum_{i=1}^n{[p(x_i)ln(p(x_i))]}} H(X)=i=1∑n[p(xi)I(xi)]=−i=1∑n[p(xi)ln(p(xi))]
从上面的公式可以看出，信息熵的本质就是对于信息量的期望值
可以证明的是：
当p(x1)=p(x2)=…=p(xn)=1/n时，H(X)取最大值，此时H(x)=ln n
随机变量的信息熵越大，则它的内容能补充的信息量越大，而知道这个值之前已有的信息量越小
对于熵权法而言，因为我们关注的是已有的信息，所以答案是越小。
熵权法的计算步骤
（1）判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下，
x11 x12 ... x1m
X= x21 x22 ... x2m
... ... ... ...
xn1 xn2 ... xnm
那么，对其标准化的矩阵即为Z，Z中的每一个元素
z i j = x i j ∑ i = 1 n x i j 2 z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}} zij=∑i=1nxij2xij
判断Z矩阵中是否存在着负数，如果存在的话，需要对X使用另一种标准化方法，对矩阵X进行一次标准化得到Z 矩阵，其标准化的公式为
z x y ~ = x i j − m i n { x 1 j , x 2 j , . . . , x n j } m a x { x 1 j , x 2 j , . . . , x n j } − m i n { x 1 j , x 2 j , . . . , x n j } \tilde{z_{xy}}=\frac{x_{ij}-min{\{x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}\}}}{max{\{x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}\}-min\{x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}\}}} zxy~=max{x1j,x2j,...,xnj}−min{x1j,x2j,...,xnj}xij−min{x1j,x2j,...,xnj}
（2）计算第j项指标下第i个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率
假设有n个要评价的对象，m个评价指标，且经过了上一步处理得到的非负矩阵为：
z11 z12 ... z1m
Z= z21 z22 ... z2m
... ... ... ...
zn1 zn2 ... znm
我们计算概率矩阵P，其中P中每一个元素Pij的计算公式如下：
P i j = z ~ i j ∑ i = 1 n z ~ i j P_{ij}=\frac{\tilde{z}_{ij}}{\sum_{i=1}^n\tilde{z}_{ij}} Pij=∑i=1nz~ijz~ij
容易验证
∑ i = 1 n P i j = 1 \sum_{i=1}^nP_{ij}=1 i=1∑nPij=1
即保证了每一个指标所对应的概率和为1
（3）计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权
对于第j个指标而言，其信息熵的计算公式为
e j = − 1 l n n ∑ i = 1 n P i j l n ( P i j ) ( j = 1 , 2 , . . . , m ) e_j=-\frac{1}{lnn}\sum_{i=1}^nP_{ij}ln(P_{ij}) (j=1,2,...,m) ej=−lnn1i=1∑nPijln(Pij)(j=1,2,...,m)
为什么要除以lnn这个常数？在前面说过当p(x1)=p(x2)=…=p(xn)=1/n时，H(X)取最大值，此时H(x)=ln n
这里除以lnn能够使得信息熵始终位于[0,1]区间上面
ej越大，即第j个指标的信息熵越大，表明第j个指标的信息越多还是越少？
答案是越少，当p1j=…=pnj的时候，ej=1，此时上面定义的信息熵达到最大
但是，因为 P i j = z ~ i j ∑ i = 1 n z ~ i j P_{ij}=\frac{\tilde{z}_{ij}}{\sum_{i=1}^n\tilde{z}_{ij}} Pij=∑i=1nz~ijz~ij ，所以z1j=…=znj，即所有样本的指标值相同
信息效用值的定义： d j = 1 − e j d_j=1-e_j dj=1−ej ,那么信息效用值越大，对应的信息就越多
将信息效用值进行归一化，我们就能够得到每个指标的熵权
W j = d j ∑ i = 1 n d j ( j = 1 , 2 , . . . , m ) W_j=\frac{d_j}{\sum_{i=1}^nd_j}(j=1,2,...,m) Wj=∑i=1ndjdj(j=1,2,...,m)
熵权法背后的原理
熵权法是一种客观赋权方法
依据的原理： 指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（客观= 数据本身就可以告诉我们权重）
我们可以用指标的标准差来衡量样本的变异程度，指标的标准差越大，其信息熵越小。
左图是蒙特卡洛的结果,随机生成一组有30个样本且位于区间[0,1]上的数据，计算其信息熵和标准差；将上述步骤重复100次，我们能够到100组信息熵和标准差的取值，将其绘制成散点图。可以发现，两个指标之间有很明显的负相关关系。
code_Monte_Carlo.m
熵权法的另一个问题：
因为概率p是位于0‐1之间，因此需要对原始数据进行标准化，我们应该选择哪种方式进行标准化呢？查看知网的文献会发现，并没有约定俗成的标准，每个人的选取可能都不一样。但是不同方式标准化得到的结果可能有很大差异，所以说熵权法也是存在着一定的问题的。
熵权法的代码实现
Entropy_Method.m 是熵权法计算权重的函数
mylog.m 用于替代MATLAB中的log函数，因为计算熵权法时需要判断p=0
code_Monte_Carlo.m 是PPT中用来蒙特卡洛模拟的函数
其他的几个函数就是之前第二节讲解的那些函数
topsis.m
%topsis.m
%% 第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦。
clear;clc
load data_water_quality.mat
%% 第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);
if Judge == 1
Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： '); %[2,1,3]
% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
end
disp('正向化后的矩阵 X = ')
disp(X)
end
%% 作业：在这里增加是否需要算加权
% 补充一个基础知识：m*n维的矩阵A 点乘 n维行向量B，等于这个A的每一行都点乘B
% （注意：2017以及之后版本的Matlab才支持，老版本Matlab会报错）
% % 假如原始数据为：
% A=[1, 2, 3;
% 2, 4, 6]
% % 权重矩阵为：
% B=[ 0.2, 0.5 ,0.3 ]
% % 加权后为：
% C=A .* B
% 0.2000 1.0000 0.9000
% 0.4000 2.0000 1.8000
% 类似的，还有矩阵和向量的点除， 大家可以自己试试计算A ./ B
% 注意，矩阵和向量没有 .- 和 .+ 哦 ，大家可以试试，如果计算A.+B 和 A.-B会报什么错误。
%% 这里补充一个小插曲
% % 在上一讲层次分析法的代码中，我们可以优化以下的语句：
% % Sum_A = sum(A);
% % SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
% % Stand_A = A ./ SUM_A;
% % 事实上，我们把第三行换成：Stand_A = A ./ Sum_A; 也是可以的哦
% % (再次强调，新版本的Matlab才能运行哦)
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 让用户判断是否需要增加权重
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');
if Judge == 1
if sum(sum(Z<0)) >0 % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化
disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')
for i = 1:n
for j = 1:m
Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];
end
end
disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为: ')
disp(Z)
end
weight = Entropy_Method(Z);
disp('熵权法确定的权重为：')
disp(weight)
else
disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
OK = 0; % 用来判断用户的输入格式是否正确
while OK == 0
if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m % 注意，Matlab中浮点数的比较要小心
OK =1;
else
weight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
end
end
end
else
weight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
% A = magic(5) % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA = 8 3 2 1
% index = 4 3 1 2
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）
Positivization.m
%Positivization.m
% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
% a=d+e;
% b=e+f;
% c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）
function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
if type == 1 %极小型
disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化
disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
elseif type == 2 %中间型
disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
best = input('请输入最佳的那一个值： ');
posit_x = Mid2Max(x,best);
disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
elseif type == 3 %区间型
disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
a = input('请输入区间的下界： ');
b = input('请输入区间的上界： ');
posit_x = Inter2Max(x,a,b);
disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
else
disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）
mylog.m
%mylog.m
% 重新定义一个mylog函数，当输入的p中元素为0时，返回0
function [lnp] = mylog(p)
n = length(p); % 向量的长度
lnp = zeros(n,1); % 初始化最后的结果
for i = 1:n % 开始循环
if p(i) == 0 % 如果第i个元素为0
lnp(i) = 0; % 那么返回的第i个结果也为0
else
lnp(i) = log(p(i));
end
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）
Min2Max.m
%Min2Max.m
function [posit_x] = Min2Max(x)
posit_x = max(x) - x;
% posit_x = 1 / x; 如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
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Mid2Max.m
%Mid2Max.m
function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
M = max(abs(x-best));
posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
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Inter2Max.m
%Inter2Max.m
function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
r_x = size(x,1); % row of x
M = max([a-min(x),max(x)-b]);
posit_x = zeros(r_x,1); %zeros函数用法: zeros(3) zeros(3,1) ones(3)
% 初始化posit_x全为0
for i = 1: r_x
if x(i) < a
posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
elseif x(i) > b
posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
else
posit_x(i) = 1;
end
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）
Entropy_Method.m
%Entropy_Method.m
function [W] = Entropy_Method(Z)
% 计算有n个样本，m个指标的样本所对应的的熵权
% 输入
% Z ： n*m的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数）
% 输出
% W：熵权，1*m的行向量
%% 计算熵权
[n,m] = size(Z);
D = zeros(1,m); % 初始化保存信息效用值的行向量
for i = 1:m
x = Z(:,i); % 取出第i列的指标
p = x / sum(x);
% 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数
e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
D(i) = 1- e; % 计算信息效用值
end
W = D ./ sum(D); % 将信息效用值归一化，得到权重
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
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% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）
code_Monte_Carlo.m
%code_Monte_Carlo.m
%% 蒙特卡洛模拟：指标的标准差和信息熵成反比
n = 30; % 样本个数
N = 100; % 试验的次数
result = zeros(N,2); % 初始化用来保存信息熵和标准差的矩阵，横坐标表示信息熵，纵坐标表示标准差
for i = 1:N
x = rand(n,1); % 随机生成n个位于区间[0,1]上面的样本 (随机数生成是视频第四讲的内容)
p = x / sum(x);
e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
sd = std(x); % 计算标准差(描述性统计是视频第五讲的内容)
result(i,1) = e;
result(i,2) = sd;
end
plot(result(:,1),result(:,2),'o') %(画图是视频第三讲的内容)
xlabel('信息熵')
ylabel('标准差')
[r,p] = corrcoef(result(:,1),result(:,2)) % 计算相关系数和对应的p值(相关系数是视频第五讲的内容)
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）