树和二叉树
树的定义和基本术语
定义
树: 是 n 个结点的有限集(n≥0)，其中n=0时为空树；在任意一棵非空树中:
(1) 有且仅有一个特定的称为根结点 ( root ) 的结点;
(2) 当 n > 1 时，其他结点可分为若干个互不相交的子集，每一个子集本身又是一棵树，称为根的子树。（递归定义）
基本术语
结点: 包含一个数据元素及若干个指向其子树的分支
结点的度: 结点所拥有的子树的数目
叶子结点(终端结点): 度为0的结点
分支结点(非终端结点): 度不为0的结点
树的度: 树内各结点的度的最大值
孩子和双亲: 结点的子树的根称为该结点 的孩子,该结点称为孩子的双亲
兄弟: 同一个双亲的孩子之间互称兄弟
路径：从根结点开始，到达某结点p所经过的所有结点成为结点p的层次路径(有且只有一条)。
祖先: 是从根到该结点所经分支上的所有结点
子孙: 以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙
结点的层次: 根结点的层次为1,根的孩子结点的层次为2,以此类推
堂兄弟: 双亲在同一层的结点互称为堂兄弟
树的深度(高度): 树中结点的最大层次
有序树和无序树: 树中结点的各子树从左至右是有次序的，称为有序树，否则称无序树（叶子结点序可以互换）。
森林: 是n(n>=0)棵互不相交的树的集合
二叉树
定义
把满足以下两个条件的树型结构叫做二叉树(Binary Tree):(1)每个结点的度都不大于 2;(每个结点最多有两棵子树,可以没有子树、可以有一棵子树、可 以有两棵子树。)
(2)每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
二叉树的性质
性质 1 ：层节点数
在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。 (i≥1)
性质 2 ：节点总数
深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）
性质 3 ：叶子节点数量
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1
N=n0+n1+n2=n1+2n2
两类特殊的二叉树：
满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。 所有有分支结点都有左、右子树. 可对满二叉树的结点进行连续编号，若规定从根结点开始，按“自上而下、自左至右”的原则进行。
完全二叉树：树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。
完全二叉树度为1的结点有0或1个。
性质4：完全二叉树的深度
具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 （log2n）+1
二叉树的存储结构
#include
#include
#define MAX 20
typedef char TElemType;
typedef int Status;
typedef struct BiTNode
{
TElemType data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;
二叉树遍历
(1)先序遍历(DLR)操作过程
若二又树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作:
访问根结点;
按先序遍历左子树:
按先序遍历右子树；
先序遍历:A、B、D、F、G、C、E、H
第一个是根节点：A
void PreOrder(BiTree T)
{
if (T == NULL)
{
return;
}
printf("%c", T->data);
PreOrder(T->lchild);
PreOrder(T->rchild);
}
(2)中序遍历(LDR)操作过程
若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作:
按中序遍历左子树:
访问根结点;
按中序遍历右子树；左中右顺序
中序遍历:B、F、D、G、A、C、E、H
左边是左子树，右边是右子树
void InOrder(BiTree T)
{
if (T == NULL)
{
return;
}
InOrder(T->lchild);
printf("%c", T->data);
InOrder(T->rchild);
}
(3)后序遍历(LRD)操作过程
若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作:
按后序遍历左子树:
按后序遍历右子树;
访问根结点。
后序遍历:F、G、D、B、H、E、C、A
最后一个是根节点：A
void PostOrder(BiTree T)
{
if (T == NULL)
{
return;
}
PostOrder(T->lchild);
PostOrder(T->rchild);
printf("%c", T->data);
}(4)层次遍历
设置一个队列结构，遍历从二叉树的根结点开始，首先将根结点指针入队列，依次执行下面操作：(1) 队列不空，出队列，取队头元素。(2) 访问该元素所指结点。(3) 若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将该元素所指结点的左孩子指针和右孩子指针顺序入队。此过程不断进行，当队列为空时，二叉树的层次遍历结束。
层次遍历：A、B、C、D、E、F、G、H
/*层次遍历二叉树 T，从第一层开始，每层从左到右遍历*/
void LevelOrder(BiTree T)
{
BiTree Queue[MAX],b;
/*用一维数组表示队列，front 和rear 分别表示队首和队尾指针*/
int front, rear;front=rear=0;
if(T)/*若树非空*/
{
/*根结点入队列*/
Queue[rear++]=T;
while (front!=rear)/*当队列非空*/
{
b=Queue[front++]; /*队首元素出队列，并访问这个结点*/
printf("%2c", b->data);
if (b->lchild!=NULL)
Queue[rear++]=b->lchild;/*左子树非空，则入队列*/
if (b->rchild!=NULL)
Queue[rear++]=b->rchild;/*右子树非空，则入队列*/
}
}
}二叉树基本操作
建立二叉树
/#*先序创建二叉树*/
void CreateBiTree(BiTree *T)
{
char ch;
ch=getchar();
if (ch=='#');
(*T)=NULL;/*#代表空指针*/
else
{
(*T)=(BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data=ch;
/*申请结点*/
*生成根结点*/
CreateBiTree(&(*T)->lchild);
CreateBiTree(&(*T)->rchild);
/*构造左子树*/
/*构造右子树*/
}
}求深度
/*求二叉树的深度*/
int depth(BiTree T)
{
int depl, dep2;
if (T=-NULL) return 0;
else
{
dep1=depth(T->lchild);
dep2=depth(T->rchild):
}
return dep1>dep2?dep1+1:dep2+1;
}树和森林
树、森林与二叉树的转换
树转换为二叉树的步骤如下
1.加线。在所有兄弟结点之间加一条连线。
2.去线。对树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除它与其他孩子结点之间的连线。
3.层次调整。以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定的角度，使之结构层次分明。注意第一个孩子是二叉树结点的左孩子，兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子。
森林是由若干棵树组成的，所以完全可以理解为，森林中的每一棵树都是兄弟，可以按照兄弟的处理办法来操作。森林转换为二叉树步骤如下:
1.把每个树转换为二叉树。
2.第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连接起来。当所有的二叉树连接起来后就得到了由森林转换来的二叉树。
二叉树转换为树是树转换为二叉树的逆过程，也就是反过来做而已。步骤如下:
1.加线。若某结点的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点……哈，反正就是左孩子的n个右孩子结点都作为此结点的孩子。将该结点与这些右孩子结点用线连接起来。
2.去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。
3.层次调整。使之结构层次分明。
判断一棵二叉树能够转换成一棵树还是森林，标准很简单，那就是只要看这棵二叉树的根结点有没有右孩子，有就是森林，没有就是一棵树。那么如果是转换成森林，步骤如下:
1.从根结点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除，再查看分离后的二叉树，若右孩子存在，则连线删除……，直到所有右孩子连线都删除为止，得到分离的二叉树。
2.再将每棵分离后的二叉树转换为树即可。
