Acwing-基础算法课笔记之数学知识（中国剩余定理）

一、中国剩余定理

1、概述

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$，其中 $m_1$，$m_2$，$m_3$，$\cdots$，$m_n$ 两两互质。

1、表述一

则$x=a_1{b}_1{m}_2{m}_3\cdots m_n+a_2{b}_2{m}_1{m}_3\cdots m_n+\cdots +a_n{b}_n{m}_1{m}_2\cdots m_{n-1}$，为方程的一个特解，其中$b_i$满足$\frac{m_1{m}_2\cdots m_n}{m_i}$，$b_i\equiv 1(mod$ $m_i)$，$i=1,2,3,\cdots ,k$

在上式中，$\{\begin{array}{l}{f}_1\equiv b_1{m}_2{m}_3\cdots m_n\\ f_2\equiv b_2{m}_1{m}_3\cdots m_n\\ ⋮\\ f_n\equiv b_n{m}_1{m}_2\cdots m_{n-1}\end{array}$

2、表述二

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\end{array}$，其中$m_1$，$m_2$，$m_3$两两互质，找 $x$ 的特解。

$x=a_1{f}_1+a_2{f}_2+a_3{f}_3$，其中$f_1$，$f_2$，$f_3$分别满足$\{\begin{array}{l}{f}_1\equiv 1(mod{m}_1)\\ f_1\equiv 0(mod{m}_2)，即m_2|f_1（1）\\ f_1\equiv 0(mod{m}_3)，即m_3|f_1\end{array}$，$\{\begin{array}{l}{m}_1|f_2\\ f_2\equiv 1(mod{m}_2)（2）\\ m_3|f_2\end{array}$，$\{\begin{array}{l}{m}_1|f_3\\ m_2|f_3（3）\\ f_3\equiv 1(mod{m}_3)\end{array}$

验证方法：带回
$\bullet$带回（1）式$x\equiv a_1(mod$ $m_1)$，即$a_1{f}_1+a_2{f}_2+a_3{f}_3\equiv a_1(mod$ $m_1)$，由上式可知：$a_1{f}_1\equiv a_1(mod$ $m_1)$，所以$f_1\equiv 1(mod{m}_1)$。
（2），（3）式以此类推。

2、辗转相除法求逆元的回顾

$M{M}^{-1}\equiv 1(mod$ $m)$
（1）当$M>m$时
$462x^{-1}\equiv 1(mod$ $5)$
$\Rightarrow 2x^{-1}\equiv 1(mod$ $5)$
$\Rightarrow 2x^{-1}-5y=1$
$\Rightarrow 2\times 3-5\times 1=1$
$\Rightarrow x^{-1}=3(mod$ $5)$
（2）当$M<m$时
$15x^{-1}\equiv 1(mod$ $28)$
$\Rightarrow 28=15\times 1+13$
$\Rightarrow 15=13\times 1+2$
$\Rightarrow 13=2\times 6+1$
反推：
$1=13-(15-13\times 1)\times 6$
$\Rightarrow 1=13\times 7-15\times 6$
$\Rightarrow 1=13\times 7-15\times 6$
$\Rightarrow 1=15\times (-13)-28\times (-7)$
$\Rightarrow x^{-1}\equiv -13=15(mod$ $28)$

3、模拟过程

（1）例题一

$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$
根据上式求 $x$ 的值：
$x=M_1{M}_1^{-1}{b}_1+\cdots +M_i{M}_i^{-1}{b}_i(mod$ $M)$

可求：
$\bullet$$M_1=5\times 7=35$
$35\times M_1^{-1}\equiv 1(mod$ $3)$
$\iff M_1^{-1}\equiv 2(mod$ $3)$

$\bullet$$M_2=3\times 7=21$
$M_2^{-1}\equiv 1(mod$ $5)$

$\bullet$$M_3=3\times 5=15$
$M_3^{-1}\equiv 1(mod$ $7)$
所以，$M=3\times 5\times 7=105$

$x=2\times 35\times 2+3\times 21\times 1+2\times 15\times 1(mod$ $105)$
$\equiv 233(mod$ $105)$
$\equiv 23(mod$ $105)$

（2）例题二

$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod4)\\ x\equiv 5(mod7)\end{array}$

根据上式求 $x$ 的值：
$x=M_1{M}_1^{-1}{b}_1+\cdots +M_i{M}_i^{-1}{b}_i(mod$ $M)$

可求：
$\bullet$$M_1=4\times 7=28$
$28\times M_1^{-1}\equiv 1(mod$ $3)$
$\iff M_1^{-1}\equiv 1(mod$ $3)$

$\bullet$$M_2=3\times 7=21$
$21\times M_2^{-1}\equiv 1(mod$ $4)$
$\iff M_1^{-1}\equiv 1(mod$ $4)$

$\bullet$$M_3=3\times 4=12$
$12\times M_2^{-1}\equiv 1(mod$ $7)$
$\iff 5\times M_2^{-1}\equiv 1(mod$ $7)$
$\iff 5\times M_2^{-1}-7\times y=1$
$\iff 5\times 2-7\times 1=3$
$\iff 7-3\times 2=1$
$\iff 5\times (-4)-7\times (-3)=1$
$\iff M_3^{-1}=-4$
$\iff M_3^{-1}\%7=3$
$\iff M_3^{-1}=3(mod$ $7)$

所以，$M=3\times 4\times 7=84$
$x\equiv 2\times 28\times 1+3\times 21\times 1+5\times 12\times 3(mod$ $84)$
$\equiv 299(mod$ $84)$
$\equiv 47(mod$ $84)$

4、闫氏思想

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$，其中 $m_1$，$m_2$，$m_3$，$\cdots$，$m_n$ 两两互质。

$\{\begin{array}{l}x=k_1\cdot a_1+m_1\\ x=k_2\cdot a_2+m_2\end{array}$
$\Rightarrow k_1\cdot a_1+m_1=k_2\cdot a_2+m_2$
$\Rightarrow k_1\cdot a_1-k_2\cdot a_2=m_2-m_1$

若有解等价于$gcd(a_1,a_2)|(m_2-m_1)$
$\{\begin{array}{l}{k}_1=k_1+k\cdot \frac{a_2}{d}\\ k_2=k_2+k\cdot \frac{a_1}{d}\end{array}$
$x=k_1\cdot a_1+m_1$
$\Rightarrow x=(k_1+k\cdot \frac{a_2}{d})\cdot a_1+m_1$
$\Rightarrow x=a_1{k}_1+m_1+k\frac{a_1{a}_2}{d}$
$\Rightarrow x=a_1{k}_1+m_1+k\cdot lcm[a_1,a_2]$
$\Rightarrow x=x_0+ka$（和 $x=k_1\cdot a_1+m_1$类似）
所以可以把两个式子合并成一个 $x=x_0+ka$，即 $x$ $mod$ $a\equiv x_0$

5、求最小正整数解

$k=(k\%t+t)\%t$
例如：$(-5\%3+3)\%3=1$
$-5$ 除以 $3$ 的余数是 $1$，所以 $-5$ 除以 $3$ 等于 $-1$ 余 $1$。

二、扩展知识

在数学中，“$a|b$” 表示 “$a$” 能够整除 “$b$”，也就是说，“$b$” 能够被 “$a$” 整除而不产生余数。这通常用来描述整数之间的关系。例如，如果我们说 “$3|12$”，意思是 $3$ 能够整除 $12$，因为 $12$ 除以 $3$ 得到的商是一个整数。