线性代数基础——向量

向量

• 基础属性

  向量的基础属性为方向与长度；
  向量 $a$ 的长度写为 $\Vert a\Vert$；
  单位向量 $a=\frac{a}{\Vert a\Vert }$ 用来表示方向。

• 向量的代数写法

  在图形学中，向量一般会写出矩阵的形式
  $$A=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
  $$A^T=\left(\begin{array}{c}x,y\end{array}\right)$$
  向量的长度为：
  $$\Vert A\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$$

• 向量的计算

• 点乘

  点乘的定义为两个向量的长度的乘积再乘以这两个向量夹角的余弦，最终结果是一个数（标量）。
  $$a\cdot b=\Vert a\Vert \Vert b\Vert \cos \theta$$
  由此，可计算两个向量夹角的余弦值
  $$\cos \theta =\frac{a\cdot b}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert }$$
  在代数中，向量的点乘可以写成如下形式：
  $$a\cdot b=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$$
  点乘在图形学中，主要是用来计算两个向量的夹角的大小，另外，还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影的大小。
  比如：计算向量 $b$ 在向量 $a$ 上的投影，首先，投影的方向肯定与向量 $a$ 的方向相同或者相反，投影的长度为 $b_{\perp }=ka$,其中 $a$ 为单位向量，$k=\Vert b_{\perp }\Vert =\Vert b\Vert \cos \theta$ 。
  投影的用处就是，可以将一个向量分解成若干给向量的和，例如：
  $u$，$v$，$w$ 分别是互相垂直的单位向量，$w=u\times v$（右手坐标系），那么向量 $p$ 可以写成如下的式子：
  $$p=(p\cdot u)u+(p\cdot v)v+(p\cdot w)w$$
  点乘还可以计算两个向量是否接近，同时还能计算前后关系，通过点乘，将向量与面朝的负方向做点乘，如果值大于0，那么这个向量就是面向我们的，如果值小于0，那么这个向量就是背朝我们的。可以使用这点来判断模型的正反面。

• 叉乘

  叉乘的结果是一个向量，这个向量的方向与输入的两个向量的方向都垂直，通过右手螺旋定则来决定方向。比如说 $a\times b$ 的方向，将右手握拳，大拇指竖起来，四指从 $a$ 旋转到 $b$ ，大拇指所指的方向，就是叉乘结果的方向。结果向量的大小如下式：
  $$\Vert a\times b\Vert =\Vert a\Vert \Vert b\Vert \sin \theta$$
  通过方向的决定方法可以得出：$a\times b=-b\times a$。
  向量自身与自身的叉乘等于 $0$ ，注意不是0，结果是一个向量。
  在代数中，向量的叉乘表达式为：
  $$a\times b=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$$
  后续的学习中，会写成如下形式：
  $$a\times b=A^{\ast }b=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$$
  这里的$A^{\ast }$是一个矩阵，不是$A\ast b$。
  叉乘在图形学的作用是可以用来判断向量的左右和内外。