乘法-逆矩阵

1. 矩阵相乘-5种方式

1.1 C=AB

• 假设我们要求得矩阵C=AB ，可以用如下公式表示
  $$c_{ij}=\sum _{k=1}^N{a}_{ik}{b}_{kj}\text{\hspace{1em}(1)}$$

1.2 AX 列组合

• 将矩阵 A 用列表示
  $$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right] \\ {a}_i={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1i}& a_{2i}\dots & a_{ni}\end{array}\right]}^T\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
  B = [ b 11 b 12 … b 1 p ⋮ ⋮ … ⋮ b n 1 b n 2 … b n p ] (3) B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots&b_{1p}\\\\\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\\\b_{n1}&b_{n2}&\dots&b_{np}\end{bmatrix}\tag{3} B= ​b11​⋮bn1​​b12​⋮bn2​​………​b1p​⋮bnp​​ ​(3)
• 那么C=AB中每一列的值$c_i$表示如下：
  $$c_i=a_1{b}_{1i}+a_2{b}_{2i}+\cdots +a_n{b}_{ni}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  $$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \dots & c_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
• 小结： 矩阵C=AB 可以看成C中的每一列为A的列向量的组合。

1.3 XB 行组合

• 将矩阵 B 用行表示
  B = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] (6) B=\begin{bmatrix}b_1\\\\b_2\\\\\vdots\\\\b_n\end{bmatrix}\tag{6} B= ​b1​b2​⋮bn​​ ​(6)
  $$b_i=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{i1}& b_{i2}\dots & b_{ip}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
  A = [ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ] (8) A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\\\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\tag{8} A= ​a11​⋮am1​​a12​⋮am2​​………​a1n​⋮amn​​ ​(8)
• 那么C=AB中每一行的值$c_i$表示如下：
  $$c_i=a_{i1}{b}_1+a_{i2}{b}_2+\cdots +a_{in}{b}_n\text{\hspace{1em}(9)}$$
  C = [ c 1 c 2 ⋮ c m ] (10) C=\begin{bmatrix}c_1\\\\c_2\\\\\vdots\\\\c_m\end{bmatrix}\tag{10} C= ​c1​c2​⋮cm​​ ​(10)
• 小结： 矩阵C=AB 可以看成C中的每一行为B的行向量的组合。

1. 4 列行组合

• 将矩阵相乘转换成列乘以行的求和，如下格式：
  [ 2 7 3 8 4 9 ] [ 1 6 0 0 ] = [ 2 3 4 ] [ 1 6 ] + [ 7 8 9 ] [ 0 0 ] (11) \begin{bmatrix}2&7\\\\3&8\\\\4&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&6\\\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\\\3\\\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}7\\\\8\\\\9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}\tag{11} ​234​789​ ​ ​10​60​ ​= ​234​ ​[1​6​]+ ​789​ ​[0​0​](11)

1.5 块求和

• 将矩阵进行分块后再根据块相互相乘来求和，如下格式:
  [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ A 1 B 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 ] (12) \begin{bmatrix}A_1&A_2\\\\A_3&A_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&B_2\\\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1B1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\\\A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{bmatrix}\tag{12} ​A1​A3​​A2​A4​​ ​ ​B1​B3​​B2​B4​​ ​= ​A1​B1+A2​B3​A3​B1​+A4​B3​​A1​B2​+A2​B4​A3​B2​+A4​B4​​ ​(12)

2. 高斯消元法求$A^{-1}$

2.1 求$A^{-1}$

• 求矩阵A的逆
  A = [ 1 3 2 7 ] (13) A=\begin{bmatrix}1&3\\\\2&7\end{bmatrix}\tag{13} A= ​12​37​ ​(13)
• 构建增广矩阵
  A = [ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] (14) A=\begin{bmatrix}1&3&1&0\\\\2&7&0&1\end{bmatrix}\tag{14} A= ​12​37​10​01​ ​(14)
• 第一行乘以-2加到第二行中
  A = [ 1 3 1 0 0 1 − 2 1 ] (15) A=\begin{bmatrix}1&3&1&0\\\\0&1&-2&1\end{bmatrix}\tag{15} A= ​10​31​1−2​01​ ​(15)
• 第二行乘以-3加到第一行中
  A = [ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 ] (16) A=\begin{bmatrix}1&0&7&-3\\\\0&1&-2&1\end{bmatrix}\tag{16} A= ​10​01​7−2​−31​ ​(16)
• 可得$A^{-1}$如下
  A − 1 = [ 7 − 3 − 2 1 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}7&-3\\\\-2&1\end{bmatrix} A−1= ​7−2​−31​ ​

2.2 推理

• 构建增广矩阵 B
  $$B=\left[\begin{array}{cc}A& E\end{array}\right]$$
• 矩阵B行变换得到C=$A^{-1}E$
  $$C=MB=\left[\begin{array}{cc}E& A^{-1}\end{array}\right]$$