【集训笔记】【大数模板】特殊的数 【Catalan数】【HDOJ1133【HDOJ1134【HDOJ1130

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3324

 

 

http://blog.csdn.net/xymscau/article/details/6776182

 

 1 #include<cstdio>

 2 #include<cstring>

 3 #include<string>

 4 #include<queue>

 5 #include<iostream>

 6 #include<algorithm>

 7 using namespace std;

 8 const int INF=1000100000;

 9 struct node{

10     int x,y;

11 }n[1010];

12 bool cmp(node a,node b){

13     return a.x<b.x;

14 }

15 int main(){

16     int p,r,xmax,xmin,ymax,ymin,y[1010];

17     while(scanf("%d%d",&p,&r)!=EOF){

18         ymax=xmax=-INF;ymin=xmin=INF;

19         for(int i=0;i<p;i++){

20             scanf("%d%d",&n[i].x,&n[i].y);

21             if(ymax<n[i].y)ymax=n[i].y;

22             if(ymin>n[i].y)ymin=n[i].y;

23             if(xmax<n[i].x)xmax=n[i].x;

24             if(xmin>n[i].x)xmin=n[i].x;

25         }

26         if((ymax-ymin <= r)&&(xmax-xmin <= r)){

27             printf("%d\n",p);

28             continue;

29         }

30         else{

31             sort(n,n+p,cmp);

32             int ans=0;

33             for(int i=0;i<p;i++){

34                 int k=0;

35                 for(int j=i;n[j].x <= n[i].x + r && j < p;j++)

36                     y[k++]=n[j].y;

37                 sort(y,y+k);

38                 int count=0,tem=0;

39                 for(int j=0;j < k && tem < k;j++){

40                     while(y[tem]-y[j] <= r && tem<k)

41                         tem++;

42                     if(count < tem-j)

43                         count=tem-j;

44                 }

45                 if(ans < count)

46                     ans=count;

47             }

48             printf("%d\n",ans);

49         }

50     }

51     return 0;

52 }

View Code

 http://blog.csdn.net/jxy859/article/details/6746254

http://blog.csdn.net/wwwzys/article/details/6746829

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/09/03/2165771.html

 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1134

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1130

HDOJ 1133

是道经典的50元100元排队求组合的问题

一种看不太懂的方法：

 1 //F(a,b)=F(a-1,b)+F(a,b-1)

 2 #include<stdio.h>

 3 #include<string.h>

 4 int a[101][101][101]={0};

 5 int b[101][101]={0}; //b数组里面保存的是a数组里面的元素个数

 6 void qiuhe(int x0,int y0,int x1,int y1,int n)//大数相加这种方法可以先学习下，否则看起来比较吃力

 7 {

 8     int i,j,k=0;

 9     j=b[x0][y0];

10     if(j<b[x1][y1])

11         j=b[x1][y1];

12     for(i=0;i<j;i++){

13        a[x0][y0][i]+=a[x1][y1][i]*n+k;

14        k=a[x0][y0][i]/10000;//每个元素四位

15        a[x0][y0][i]%=10000;

16     }

17     if(k){

18         a[x0][y0][j]=k;

19         b[x0][y0]=j+1;

20     }

21     else

22         b[x0][y0]=j;

23 }

24 void jiecheng(int n)//求大数阶乘

25 {

26    int i,j,k=0;

27    for(i=0;i<b[n-1][0];i++){

28        a[n][0][i]=1;

29        a[n][0][i]=a[n-1][0][i]*n+k;

30        k=a[n][0][i]/10000;

31        a[n][0][i]=a[n][0][i]%10000;

32    }

33    if(k){

34        a[n][0][i]=k;

35        b[n][0]=i+1;

36    }

37    else

38        b[n][0]=b[n-1][0];

39 }

40 int main(){

41     int T=0,i,j,m,n;

42     a[1][0][0]=1;b[1][0]=1;

43     for(i=2;i<=100;i++)

44         jiecheng(i);//当m=0时的排列数

45     for(i=1;i<=100;i++)

46         for(j=i;j<=100;j++){

47             qiuhe(j,i,j-1,i,j);

48             qiuhe(j,i,j,i-1,i);

49         }

50    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF&&(m||n)){

51       T++;

52       printf("Test #%d:\n",T);

53       printf("%d",a[m][n][b[m][n]-1]);

54       for(i=b[m][n]-2;i>=0;i--)

55           printf("%4.4d",a[m][n][i]);

56       printf("\n");

57     }

58     return 0;

59 }

View Code

利用大数模板AC：

  1 #include<iostream> 

  2 #include<string> 

  3 #include<iomanip> 

  4 #include<algorithm> 

  5 using namespace std; 

  6 

  7 #define MAXN 9999

  8 #define MAXSIZE 10

  9 #define DLEN 4

 10 

 11 class BigNum

 12 { 

 13 private: 

 14     int a[500];    //可以控制大数的位数 

 15     int len;       //大数长度

 16 public: 

 17     BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数

 18     BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数

 19     BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数

 20     BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数

 21     BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算

 22 

 23     friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符

 24     friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符

 25 

 26     BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 

 27     BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 

 28     BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 

 29     BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算

 30 

 31     BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算

 32     int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    

 33     bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较

 34     bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较

 35 

 36     void print();       //输出大数

 37 }; 

 38 BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数

 39 { 

 40     int c,d = b;

 41     len = 0;

 42     memset(a,0,sizeof(a));

 43     while(d > MAXN)

 44     {

 45         c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1); 

 46         d = d / (MAXN + 1);

 47         a[len++] = c;

 48     }

 49     a[len++] = d;

 50 }

 51 BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数

 52 {

 53     int t,k,index,l,i;

 54     memset(a,0,sizeof(a));

 55     l=strlen(s);   

 56     len=l/DLEN;

 57     if(l%DLEN)

 58         len++;

 59     index=0;

 60     for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)

 61     {

 62         t=0;

 63         k=i-DLEN+1;

 64         if(k<0)

 65             k=0;

 66         for(int j=k;j<=i;j++)

 67             t=t*10+s[j]-'0';

 68         a[index++]=t;

 69     }

 70 }

 71 BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数

 72 { 

 73     int i; 

 74     memset(a,0,sizeof(a)); 

 75     for(i = 0 ; i < len ; i++)

 76         a[i] = T.a[i]; 

 77 } 

 78 BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算

 79 {

 80     int i;

 81     len = n.len;

 82     memset(a,0,sizeof(a)); 

 83     for(i = 0 ; i < len ; i++) 

 84         a[i] = n.a[i]; 

 85     return *this; 

 86 }

 87 istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符

 88 {

 89     char ch[MAXSIZE*4];

 90     int i = -1;

 91     in>>ch;

 92     int l=strlen(ch);

 93     int count=0,sum=0;

 94     for(i=l-1;i>=0;)

 95     {

 96         sum = 0;

 97         int t=1;

 98         for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)

 99         {

100             sum+=(ch[i]-'0')*t;

101         }

102         b.a[count]=sum;

103         count++;

104     }

105     b.len =count++;

106     return in;

107 

108 }

109 ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符

110 {

111     int i;  

112     cout << b.a[b.len - 1]; 

113     for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)

114     { 

115         cout.width(DLEN); 

116         cout.fill('0'); 

117         cout << b.a[i]; 

118     } 

119     return out;

120 }

121 

122 BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算

123 {

124     BigNum t(*this);

125     int i,big;      //位数   

126     big = T.len > len ? T.len : len; 

127     for(i = 0 ; i < big ; i++) 

128     { 

129         t.a[i] +=T.a[i]; 

130         if(t.a[i] > MAXN) 

131         { 

132             t.a[i + 1]++; 

133             t.a[i] -=MAXN+1; 

134         } 

135     } 

136     if(t.a[big] != 0)

137         t.len = big + 1; 

138     else

139         t.len = big;   

140     return t;

141 }

142 BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算 

143 {  

144     int i,j,big;

145     bool flag;

146     BigNum t1,t2;

147     if(*this>T)

148     {

149         t1=*this;

150         t2=T;

151         flag=0;

152     }

153     else

154     {

155         t1=T;

156         t2=*this;

157         flag=1;

158     }

159     big=t1.len;

160     for(i = 0 ; i < big ; i++)

161     {

162         if(t1.a[i] < t2.a[i])

163         { 

164             j = i + 1; 

165             while(t1.a[j] == 0)

166                 j++; 

167             t1.a[j--]--; 

168             while(j > i)

169                 t1.a[j--] += MAXN;

170             t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i]; 

171         } 

172         else

173             t1.a[i] -= t2.a[i];

174     }

175     t1.len = big;

176     while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)

177     {

178         t1.len--; 

179         big--;

180     }

181     if(flag)

182         t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];

183     return t1; 

184 } 

185 

186 BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算 

187 { 

188     BigNum ret; 

189     int i,j,up; 

190     int temp,temp1;   

191     for(i = 0 ; i < len ; i++)

192     { 

193         up = 0; 

194         for(j = 0 ; j < T.len ; j++)

195         { 

196             temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up; 

197             if(temp > MAXN)

198             { 

199                 temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1); 

200                 up = temp / (MAXN + 1); 

201                 ret.a[i + j] = temp1; 

202             } 

203             else

204             { 

205                 up = 0; 

206                 ret.a[i + j] = temp; 

207             } 

208         } 

209         if(up != 0) 

210             ret.a[i + j] = up; 

211     } 

212     ret.len = i + j; 

213     while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)

214         ret.len--; 

215     return ret; 

216 } 

217 BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算

218 { 

219     BigNum ret; 

220     int i,down = 0;   

221     for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)

222     { 

223         ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b; 

224         down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b; 

225     } 

226     ret.len = len; 

227     while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)

228         ret.len--; 

229     return ret; 

230 }

231 int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    

232 {

233     int i,d=0;

234     for (i = len-1; i>=0; i--)

235     {

236         d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;  

237     }

238     return d;

239 }

240 BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算

241 {

242     BigNum t,ret(1);

243     int i;

244     if(n<0)

245         exit(-1);

246     if(n==0)

247         return 1;

248     if(n==1)

249         return *this;

250     int m=n;

251     while(m>1)

252     {

253         t=*this;

254         for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)

255         {

256             t=t*t;

257         }

258         m-=i;

259         ret=ret*t;

260         if(m==1)

261             ret=ret*(*this);

262     }

263     return ret;

264 }

265 bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较

266 { 

267     int ln; 

268     if(len > T.len)

269         return true; 

270     else if(len == T.len)

271     { 

272         ln = len - 1; 

273         while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)

274             ln--; 

275         if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])

276             return true; 

277         else

278             return false; 

279     } 

280     else

281         return false; 

282 }

283 bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较

284 {

285     BigNum b(t);

286     return *this>b;

287 }

288 

289 void BigNum::print()    //输出大数

290 { 

291     int i;   

292     cout << a[len - 1]; 

293     for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)

294     { 

295         cout.width(DLEN); 

296         cout.fill('0'); 

297         cout << a[i]; 

298     } 

299     cout << endl;

300 }

301 int main(void)

302 {

303     int i,n;

304     BigNum x[101];      //定义大数的对象数组

305     x[0]=1;

306     for(i=1;i<101;i++)

307         x[i]=x[i-1]*(4*i-2)/(i+1);

308     while(scanf("%d",&n)==1 && n!=-1)

309     {

310         x[n].print();

311     }

312 }

维基百科资料:

卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡塔兰数的一般项公式为                       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

[性质]

C_n的另一个表达形式为 所以，C_n是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)

卡塔兰数满足以下递推关系

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_n都满足n = 2^k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

[应用]

组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用C_n=3和C_n=4举若干例：

• C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• C_n表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

                                                                       

• C_n表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

• C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：
•                                                                         

• C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

                                                                                 

• C_n表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

• C_n表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, C_n 永远不大于第n项贝尔数. C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.

• C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

                                                                                          

百度百科资料:
简介

　　中文:卡特兰数
　　Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
　　原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 
应用

　　我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）
1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　(一定是二叉树!
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能构成h（N）个）