经典贪心法:时间序列问题及其全局最优性证明

贪心算法是指在对问题求解时，总做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体上加以考虑，它所作出的仅仅是在某种意义上的局部最优解。一旦贪心算法求出了一个可行解，就要确定这个算法是否找到了最优解。为此，要么证明这个解是最优的，要么说明一个该算法产生非最优解的反例。

为了更方便的说明问题，我们来拿一个实例做分析，下面的题目取自HDU_2037:今年暑假不AC

Problem Description “今年暑假不AC？” “是的。” “那你干什么呢？” “看世界杯呀，笨蛋！” “@#$%^&*%...” 确实如此，世界杯来了，球迷的节日也来了，估计很多ACMer也会抛开电脑，奔向电视了。 作为球迷，一定想看尽量多的完整的比赛，当然，作为新时代的好青年，你一定还会看一些其它的节目，比如新闻联播（永远不要忘记关心国家大事）、非常6+7、超级女生，以及王小丫的《开心辞典》等等，假设你已经知道了所有你喜欢看的电视节目的转播时间表，你会合理安排吗？（目标是能看尽量多的完整节目） Input 输入数据包含多个测试实例，每个测试实例的第一行只有一个整数n(n<=100)，表示你喜欢看的节目的总数，然后是n行数据，每行包括两个数据Ti_s,Ti_e (1<=i<=n)，分别表示第i个节目的开始和结束时间，为了简化问题，每个时间都用一个正整数表示。n=0表示输入结束，不做处理。 Output 对于每个测试实例，输出能完整看到的电视节目的个数，每个测试实例的输出占一行。 
Sample Input 12

1 3 

3 4

0 7 

3 8 

15 19

15 20

10 15

8 18 

6 12 

5 10

4 14

2 9

0 
Sample Output 5

仔细考察问题（自己举一些简单的例子来找规律）后我们发现：在算法的每个阶段，都从可以完整收看的节目中选择一个最早结束的节目观看。我们将证明在从能看尽量多的完整节目的意义上而言，这种贪心算法是一种最优算法。为了证明该算法的最优性，对变量n应用数学归纳法，其中n是算法中的节目数。设P(n)是命题：如果贪心算法安排了n个节目，那么不可能安排更多的节目。

　　基础步骤：设应用上述贪婪算法只安排了1个节目（Ti_s,Ti_e (1<=i<=n)，分别表示第i个节目的开始和结束时间），这说明所有其他的节目的开始时间都在安排的那1个节目的结束时间T1_e之前，并且结束时间Ti_e <= T1_e。这又说明了什么？说明任意两两节目的播出时间都有重叠，因此如果贪心算法安排了1个节目，那么不可能安排更多的节目。

　　归纳步骤：归纳步骤是P(k)为真，其中k是一个正整数。也就是说，如果贪心算法安排了k个节目，那么不可能安排更多的节目。下面我们需要证明在k成立的条件下，命题对k+1仍然成立。换句话说，假设贪心算法安排了k+1个节目，那么我们需要证明不能安排更多的节目了。我们以安排尽量多的节目为出发点，那么第一个节目应该是最早结束的那个，因为所有节目的开始和结束时间都已经给定了，因此要想尽可能多的安排节目我们需要在安排了第一个节目后使剩下的时间最大化，即第一个节目是众多节目中最早结束的那个能保证安排节目的数量达到最大化。剩下的问题就好办了，剩下的时间安排k个节目已经由我们的归纳假设P(k)保证了。

OK，我们已经完成了基础步骤和归纳步骤，根据数学归纳法的原理可知：对所有正整数n，P(n)为真。这就完成了最优性的证明。

确定了对于该问题使用贪心法能保证找到一个最优解后，我们可以踏踏实实地编写程序来实现了：

#include<stdio.h> #include<string.h>

void bubble_sort(int a[][2], int); // 注意二维数组做形参的写法

int main(void) { int n, i, count, first, second; int a[110][2]; while(scanf("%d", &n) && n) // n==0，输入结束

 { i = 0; memset(a, 0, sizeof(a)); while(n--) { scanf("%d%d", &a[i][0], &a[i][1]); i++; } bubble_sort(a, i); // i为数据的个数 // 排好序后，从最早结束的开始，找第二早结束的，如果满足前者结束时间<=后者开始时间，观看节目数加一，重复上述过程，直至遍历完所有给出的节目数据。

 count = 1; first = 0; second = 1; while(1) { if(a[first][1] <= a[second][0]) { count++; first = second; } second++; if(second >= i) break; } printf("%d\n", count);

 } return 0; } void bubble_sort(int a[][2], int n) { int temp; for(int outer = n-1; outer > 0; outer--) for(int inter = 0; inter < outer; inter++) { if(a[inter][1] > a[inter+1][1]) { temp = a[inter][1]; a[inter][1] = a[inter+1][1]; a[inter+1][1] = temp; temp = a[inter][0]; a[inter][0] = a[inter+1][0]; a[inter+1][0] = temp; } } }

 

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Author：海峰:)

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