网络流和最小费用流

这段时间复习了下网络流模型，感觉比以前的理解有了长足进展，虽然我知道这东西难就难在建模上，而它的算法本身其实难度不大，但我还是决定说一些我的理解，毕竟理解了本质的东西运用起来才会更灵活。

最大流的求解一般有两类算法（用费用流附带求出的不列入考虑范围），就是增广路（FF）系列和预流推进（PF）系列。在很多地方都看到推荐使用后者，因为效率更高，但其实不然，今天我这篇文章就是要重点介绍前者，相信大家看了过后也会喜欢它的。

首先，那些一大堆的关于网络的定义我就不说了，不明白的就先去看看书好了，我们约定S是源，T是汇，G表示残余图。增广路算法其实相当好理解，因为只要在G中存在一条从S到T的通路，那沿这条路走，流量一定还可以增加，所以当求得最大流的时候一定不存在S-T通路。 那反过来成立么？显然，因为我们有最小割最大流定理，所以由此就得到了FF算法的基本方法：

不断的在G中找一条S-T通路，然后沿其增广，直到无法找到。

至于用什么方法去找一条路，那就随便了，BFS，DFS，甚至A*，你可以把你能想到的方法试个遍，看看哪个合胃口就用哪个吧。

注意那个用BFS的方法，它的官方名字叫Edmonds-Karp（EK），它和我们后面要说的费用流有很大的关系，这里先简单提示一下。

那这方法的复杂度呢？如果是整数流（事实上分数流的话可以构造数据让FF无法停止，这时候必须用到PF的方法），显然每次至少增广1的流量，每次查找O(E)条边，增广要O(V)的时间，因此复杂度为O((m+n)*U)，U是最大流。

听上去很恐怖，其实EK算法的一个稍微精确的上界是O(VE^2)，还是很夸张。

那么，怎样才能跑得更快呢？想想，每次用BFS求出的Shortest Path Tree（SPT），我们只关心了S-T最短路，其实还有很多信息没有利用到，那么如果求一次SPT，我们可以增广多次的话，是不是会好些？？

于是，引入层次图的概念，说通俗点，就是求G的SPT，把G中每个顶点的距离S的标号d给求出来，保留所有的s->t中d[s]+1=d[t]的边（注意可以不是SPT中的边），最后再在层次图中用多次BFS把所有的增广路求出来增广。

这样看似更快了，其实没有，因为分析复杂度依然是O(VE^2)，没有改进，而且我们还要写更多的代码。那瓶颈在哪里呢？对了，就是那步在层次图中用BFS来找增广路。其实更好的方法是用DFS，一次就可以把所有的增广路求出来，具体做法如下：

从S开始做DFS，一旦发现一条增广路，于是就沿其增广，然后DFS回退到离S最近的一条满流的边的起点处，并在图中删除该边的终点，继续搜索。

上面的算法就是著名的Dinic算法，它的复杂度为O(EV^2)（注意，看清楚2的位置），对于密图有不小的改进。

事实上，我非常推荐在各类比赛中用Dinic算法，因为它实现简单，而且实际运行速度快，比起PF算法好写太多了！！

那单纯的说好还是不行，要拿出依据来。关于PF算法的理论在本文中就不详细叙述了，可能以后我会专门介绍它。一般的PF实现是O(V^4)的，而Relable-To-Front是O(V^3)，高标推进据称是O(V^2*sqrt(E))，虽然它实际中确实比较快，但是PF的算法都有一个缺点，就是必须加启发优化，至少是Gap优化，否则实际中会比较慢。因此，写一个PF的代码自然就比较多了。

上面基本上把最大流的算法盘点了一下，下面还是说一下最小费用流问题。

如果一个网络的边不仅有容量，还有单位流量费用的话，那我们自然想在求得最大流的同时，使总费用更低。因此，最小费用流实际上是一个更通用的模型，因而其应用也更广。

令 人惊奇的是，解决该问题可以不需要先求出最大流来（当然也有方法需要），所以如果你不想记那么多算法的话只知道该算法也没问题。因为费用流的算法如果说复 杂的话可以把线性规划扯近来，所以先罗列下几个基本方法，然后介绍最简单的一种，其它的如果你有兴趣可以自己找文章来看：

1、 连续最短路算法（Successive Shortest Path）；

2、 消圈算法（Cycle Canceling）；

3、 原始对偶算法（Primal Dual）；

4、 网络单纯形（Network Simplex）。

后面的两个分别是前面两个的高级优化版本，其基本的优化思路就是和我们上面论述的优化增广类似，就是希望每次都能做几次运算，不要一次用了就丢弃了。最好用的就是第一个方法，方法二在Algorithm in C图论部分有详细论述，我就不说了。

还记得刚才我说的EK么？其实如果我们用Dijkstra在G中找S-T最短路，而不是BFS的话，是不是就解决问题了呢？是的，完全正确，我把证明留给大家想，其实很简单。

但是，有个问题，在G中存在负权的边，用Dijkstra是不是不行了呢？非要用Bellman-Ford么？其实不然，只要原图中没有负环存在（有的话不存在最小费用），那么我们可以利用Johnson算法的重赋权技术把所有的边先变成正权，然后以后每次增广后再维护一下不就可以用高效的Dijkstra了？算法如下：

用Bellman-Ford求各点到S的高度标号d[]；

以后每求一次最短路，设标号为pi[]，那么执行：

For i=1 to v do

d[v]+=pi[v]

这样一来，标号就一直合法了（具体证明还是留给大家吧）。

好了，说这么多理论，下篇文章将会说几个具体的题目，加深对算法的理解。